Seja $f: ext{R} ightarrow ext{R}$ definida por $f(x) = egin{cases} -x - 1, se hinspace x ext{≤} -1 \ -x^2 + 1, se hinspace -1 < x < 1 \ x - 1, se hinspace x ext{≥} 1 ext{, o conjunto imagem de } f ext{ é dado por:}$

Alternativa C

Para encontrar o conjunto imagem de uma função definida por partes, devemos analisar o intervalo de valores de saída (y) gerado por cada trecho da definição e, em seguida, fazer a união desses resultados.

Análise Detalhada

A função é dada por três regras distintas dependendo do valor de x. Vamos calcular a imagem de cada parte separadamente:

1. Primeira Parte: Para x \leq -1

• Função: f(x) = -x - 1
• Como x \leq -1, multiplicando por -1 inverte-se a desigualdade: -x \geq 1.
• Subtraindo 1 de ambos os lados: -x - 1 \geq 0.
• Imagem desta parte: [0, +\infty[

1. Segunda Parte: Para -1 < x < 1

• Função: f(x) = -x^2 + 1
• Trata-se de uma parábola com concavidade para baixo (coeficiente de x^2 negativo). O vértice está em x = 0, onde o valor máximo é f(0) = 1.
• Nas extremidades do domínio aberto (-1, 1), o valor tende a $0$ (pois -(\pm 1)^2 + 1 = 0), mas não atinge esse ponto neste trecho específico.
• Imagem desta parte: (0, 1]

1. Terceira Parte: Para x \geq 1

• Função: f(x) = x - 1
• Como x \geq 1, subtraindo 1 de ambos os lados: x - 1 \geq 0.
• Imagem desta parte: [0, +\infty[

Conclusão

O conjunto imagem final é a união das imagens calculadas acima:
\text{Im}(f) = [0, +\infty[ \cup (0, 1] \cup [0, +\infty[

Como o intervalo [0, +\infty[ já engloba todos os valores positivos e o zero, a união resulta no mesmo intervalo.

Portanto, o conjunto imagem é [0, +\infty[, correspondendo à Alternativa C.