Alternativa D - 145
Introdução ao Problema
Este é um problema clássico de Teoria dos Conjuntos que utiliza o Princípio da Inclusão-Exclusão. Precisamos contar quantos números entre 1 e 199 são múltiplos de 2, 3 ou 5.
Desenvolvimento do Cálculo
Passo 1: Definir os conjuntos individuais
Para cada conjunto, calculamos quantos múltiplos existem no intervalo [1, 199]:
| Conjunto | Divisor | Cálculo | Resultado |
|---|
| X₂ | 2 | ⌊199÷2⌋ | 99 elementos |
| X₃ | 3 | ⌊199÷3⌋ | 66 elementos |
| X₅ | 5 | ⌊199÷5⌋ | 39 elementos |
Passo 2: Calcular as interseções (mínimo múltiplo comum)
As interseções representam números que são múltiplos simultâneos dos divisores envolvidos:
| Interseção | MMC | Cálculo | Resultado |
|---|
| X₂ ∩ X₃ | 6 | ⌊199÷6⌋ | 33 elementos |
| X₂ ∩ X₅ | 10 | ⌊199÷10⌋ | 19 elementos |
| X₃ ∩ X₅ | 15 | ⌊199÷15⌋ | 13 elementos |
| X₂ ∩ X₃ ∩ X₅ | 30 | ⌊199÷30⌋ | 6 elementos |
Passo 3: Aplicar o Princípio da Inclusão-Exclusão
A fórmula para três conjuntos é:
|X_2 \cup X_3 \cup X_5| = |X_2| + |X_3| + |X_5| - |X_2 \cap X_3| - |X_2 \cap X_5| - |X_3 \cap X_5| + |X_2 \cap X_3 \cap X_5|
Substituindo os valores:
= 99 + 66 + 39 - 33 - 19 - 13 + 6
= 204 - 65 + 6
= 145
Análise
O raciocínio segue estas etapas fundamentais:
- Soma inicial: Contamos todos os múltiplos individualmente (99 + 66 + 39)
- Subtração das duplas: Removemos as contagens duplicadas nas interseções de dois em dois
- Adição da trippla: Recuperamos o elemento que foi subtraído demais na interseção dos três conjuntos
Isso evita contar números como 30 (múltiplo de 2, 3 e 5) várias vezes.
Conclusão
O número total de elementos em X_2 \cup X_3 \cup X_5 é 145, correspondendo à Alternativa D.