Sejam 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 , 𝑥4, 𝑥5 𝑒 𝑥6 números reais tais que 2𝑥1 = 4; 3𝑥2 = 5; 4𝑥3 = 6; 5𝑥4 = 7; 6𝑥5 = 8 𝑒 7𝑥6 = 9. Então, o produto 𝑥1𝑥2𝑥3 𝑥4𝑥5𝑥6 é igual a:

Alternativa A - 6

Para resolver esta questão do ITA, precisamos primeiro interpretar corretamente a notação apresentada no enunciado. As expressões como "2 𝑥1 = 4" representam equações exponenciais da forma $2^{x_1} = 4$. Essa interpretação é necessária porque, se tratássemos como multiplicação ou radicais, os valores resultantes tornariam o produto extremamente grande, incompatível com as alternativas de resposta (que são números pequenos).

Isolando as incógnitas

Primeiro, resolvemos cada equação para encontrar o valor de x_1, x_2, \dots, x_6:

• Para x_1:
  2^{x_1} = 4 \Rightarrow 2^{x_1} = 2^2 \Rightarrow x_1 = 2
• Para as demais incógnitas (x_2 a x_6), usamos a definição de logaritmo (b^y = z \Rightarrow y = \log_b z):
  x_2 = \log_3 5
  x_3 = \log_4 6
  x_4 = \log_5 7
  x_5 = \log_6 8
  x_6 = \log_7 9

Calculando o produto

O objetivo é encontrar P = x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 \cdot x_5 \cdot x_6. Substituindo os valores encontrados:

Para simplificar esse produto, utilizamos a propriedade de mudança de base dos logaritmos:
\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}

Transformando todos os logaritmos para a mesma base (natural, ln):

Simplificação telescópica

Observe que muitos termos aparecem tanto no numerador quanto no denominador, permitindo o cancelamento direto (efeito cascata):

Após os cancelamentos, restam apenas os extremos:

Finalizando o cálculo

Agora simplificamos os logaritmos usando a propriedade \ln(a^k) = k \cdot \ln a:

• \ln 8 = \ln(2^3) = 3 \ln 2
• \ln 9 = \ln(3^2) = 2 \ln 3
• \ln 4 = \ln(2^2) = 2 \ln 2

Substituindo na expressão de P:

Cancelamos (\ln 2 \cdot \ln 3) e o fator 2 do denominador com o 2 do numerador dentro da fração:

O produto total é igual a 6.

Conclusão

A resposta correta corresponde à alternativa (a).