Alternativa A - 8
Resolução do Problema
Este problema envolve conjuntos numéricos, múltiplos e cálculo de subconjuntos. Vamos analisar passo a passo.
Passo 1: Entendendo o conjunto K
O conjunto K contém números naturais entre 0 e 100:
K = \{x \in \mathbb{N} \mid 0 < x < 100\} = \{1, 2, 3, ..., 99\}
Total de elementos em K: 99 elementos
Passo 2: Identificando o conjunto V
V = X ∩ Y ∩ Z significa que um número deve pertencer simultaneamente aos três conjuntos. Isso ocorre quando o número é múltiplo de 2, 3 e 5 ao mesmo tempo.
Para ser múltiplo simultâneo de vários números, devemos calcular o MMC (Mínimo Múltiplo Comum):
\text{MMC}(2, 3, 5) = 2 \times 3 \times 5 = 30
Passo 3: Encontrando os elementos de V
Os elementos de V são os múltiplos de 30 no intervalo de 1 a 99:
| Múltiplo | Cálculo | Pertence a K? |
|---|
| 30 | 30 × 1 | Sim ✓ |
| 60 | 30 × 2 | Sim ✓ |
| 90 | 30 × 3 | Sim ✓ |
| 120 | 30 × 4 | Não ✗ |
Portanto:
V = \{30, 60, 90\}
Cardinalidade de V (número de elementos): |V| = 3
## Análise da Fórmula de Subconjuntos
Para encontrar o número total de subconjuntos de um conjunto com n elementos, usamos a fórmula:
\text{Número de subconjuntos} = 2^n
Onde:
- n = quantidade de elementos do conjunto
- $2^n$ = potência de 2 elevada ao número de elementos
No nosso caso:
Conclusão
O conjunto V tem 3 elementos, logo possui 8 subconjuntos possíveis.
Alternativa A.