Simplifique a expressão: $ rac{\sqrt{x} - \sqrt{3}}{x - 3}$

Resolução da Expressão Matemática

Resumo da Resposta
A expressão apresentada corresponde ao cálculo de um limite indeterminado quando $x$ tende a 3. O resultado final do limite é $\frac{\sqrt[3]{3}}{9}$ (ou equivalente a $\frac{1}{3\sqrt[3]{9}}$).

Como não há opções de múltipla escolha visíveis na imagem, esta análise foca na resolução matemática do problema implícito.

Análise Didática

1. Identificação do Problema

A expressão mostrada na imagem é:
$$ \frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{3}}{x - 3} $$

Em contextos de vestibulares e concursos, essa estrutura indica quase sempre um cálculo de limite onde $x$ se aproxima de 3 ($\lim_{x \to 3}$). Se substituirmos diretamente $x=3$, obtemos uma forma indeterminada:

• Numerador: $\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{3} = 0$
• Denominador: $3 - 3 = 0$
  Logo, temos a forma $\frac{0}{0}$.

2. Estratégia de Resolução

Para resolver limites com raízes cúbicas que geram indeterminação, utilizamos duas técnicas principais:

1. Multiplicação pelo conjugado (para raízes quadradas) ou fatoração de soma/diferença de cubos (para raízes cúbicas).
2. Substituição de variável para facilitar a fatoração.

Vamos utilizar a fatoração da diferença de cubos, pois é mais direta neste caso.

3. Passo a Passo da Fatoração

Sabemos que a fórmula algébrica para a diferença de cubos é:
$$ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $$

No nosso denominador $x - 3$, podemos identificar:

• $a = \sqrt[3]{x}$ (pois $a^3 = x$)
• $b = \sqrt[3]{3}$ (pois $b^3 = 3$)

Assim, podemos reescrever o denominador como:
$$ x - 3 = (\sqrt[3]{x})^3 - (\sqrt[3]{3})^3 = (\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{3}) \cdot (\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}) $$

4. Simplificação e Limite

Substituindo essa fatoração no denominador original da fração:
$$ \frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{3}}{(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{3}) \cdot (\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{3x} + \sqrt[3]{9})} $$

Podemos cancelar o termo comum $(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{3})$ do numerador e do denominador:
$$ \frac{1}{\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{3x} + \sqrt[3]{9}} $$

Agora, aplicamos o limite $x \to 3$:
$$ \frac{1}{\sqrt[3]{3^2} + \sqrt[3]{3\cdot3} + \sqrt[3]{9}} = \frac{1}{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{9}} $$
$$ = \frac{1}{3\sqrt[3]{9}} $$

5. Forma Racionalizada

Para obter a resposta padrão em provas, racionalizamos o denominador multiplicando por $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3}}$:
$$ \frac{1}{3\sqrt[3]{9}} \cdot \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3}} = \frac{\sqrt[3]{3}}{3 \cdot 3} = \frac{\sqrt[3]{3}}{9} $$

Conclusão

O valor calculado para a expressão, considerando o limite $x \to 3$, é $\frac{\sqrt[3]{3}}{9}$. Caso haja alternativas nas opções originais, procure pela que corresponda a este valor ou sua forma equivalente.