Suponhamos que n é ímpar, n = 2k + 1 para algum inteiro k. Logo: n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1 = 2q + 1 PORQUE 2k² + 2k é um inteiro. Portanto, n² é ímpar. A respeito da afirmação feita pelo estudante, assinale a opção correta.

Alternativa A

Análise da Questão

Esta questão trata de Lógica Matemática e especificamente de métodos de Demonstração Direta. Para responder, precisamos verificar a veracidade das proposições e a relação de justificação entre elas.

Verificação da Primeira Asserção

A primeira parte da demonstração estabelece a hipótese e realiza os cálculos algébricos:

• Hipótese: n é ímpar \Rightarrow n = 2k + 1.
• Cálculo: Calculamos n^2:
  n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1
• Reagrupamento: Fatoramos para tentar obter a forma de um ímpar ($2 \cdot \text{algo} + 1$):
  n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1
  Definindo q = 2k^2 + 2k, temos n^2 = 2q + 1.

Esta sequência é verdadeira, pois segue as propriedades algébricas corretas.

Verificação da Segunda Asserção

A justificativa fornecida é:

"PORQUE q = 2k^2 + 2k é um inteiro. Portanto, n^2 é ímpar."

• Veracidade: Se k é um número inteiro, então k^2 é inteiro, $2k^2$ é inteiro, $2k$ é inteiro, e a soma deles ($2k^2 + 2k$) resulta em outro inteiro. Logo, q é de fato um inteiro. Esta parte é verdadeira.
• Relação de Causa: A definição de um número ímpar é exatamente qualquer número da forma $2q + 1$, onde q é um inteiro. Ao provar que q é inteiro, o estudante valida que n^2 possui a estrutura de um número ímpar.

Conclusão

Como ambas as partes estão corretas e a segunda explica logicamente a conclusão da primeira, temos uma demonstração válida.

Portanto, a alternativa correta é a A.