Análise da Questão de Números Massa
Identificação dos Dados
- Conceito: Um número é "Massa" quando lido da direita para a esquerda é MAIOR que o original
- Domínio: Todos os números de 5 algarismos (de 10.000 a 99.999)
- Pergunta: Quantos são números Massa?
Modelagem Matemática
Um número de 5 algarismos pode ser representado como: ABCDE
O valor original: N = 10000A + 1000B + 100C + 10D + E
O valor invertido: N_{rev} = 10000E + 1000D + 100C + 10B + A
Para ser Massa, precisamos: N < N_{rev}
Comparação por Posições
Comparando dígito a dígito da esquerda para direita:
| Comparação | Resultado |
|---|
| Se A < E | N < N_{rev} ✓ (Massa) |
| Se A > E | N > N_{rev} ✗ (Não Massa) |
| Se A = E, verificar B vs D |
| Se B < D (com A=E) | N < N_{rev} ✓ (Massa) |
| Se B = D e A=E | N = N_{rev} ✗ (Palíndromo) |
Contagem Passo a Passo
Caso 1: Primeiro dígito menor que último (A < E)
- A \in \{1,2,...,9\} (não pode ser 0)
- E \in \{0,1,...,9\} mas deve ser maior que A
- Pares válidos (A,E):
- A=1: E \in \{2,3,4,5,6,7,8,9\} → 8 opções
- A=2: E \in \{3,4,5,6,7,8,9\} → 7 opções
- ...
- A=8: E = 9 → 1 opção
Total de pares: $8+7+6+5+4+3+2+1 = 36$
- Algarismos B, C, D: cada um tem 10 opções
- Subtotal: $36 \times 10 \times 10 \times 10 = 36.000$
Caso 2: Primeiro igual ao último (A = E), mas segundo menor que quarto (B < D)
- A = E: 9 opções ($1$ a $9$)
- Pares (B,D) com B < D:
- B=0: D \in \{1,...,9\} → 9 opções
- B=1: D \in \{2,...,9\} → 8 opções
- ...
- B=8: D = 9 → 1 opção
Total: $9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 45$
- Algarismo C: 10 opções
- Subtotal: $9 \times 45 \times 10 = 4.050$
Total Final
36.000 + 4.050 = 40.050
Verificação Lógica
| Cenário | Contagem |
|---|
| Total de 5 dígitos | 90.000 |
| Número Massa (caso 1) | 36.000 |
| Número Massa (caso 2) | 4.050 |
| Total Massa | 40.050 |
| Palíndromos (não Massa) | 900 |
| Não Massa (invertido > original) | 49.050 |
Conclusão
A contagem correta é 40.050 números Massa.
Alternativa b