Alternativa D - 10 meses
Para resolver este problema, precisamos utilizar a fórmula do montante a juros simples, pois o enunciado especifica explicitamente esse regime de capitalização. O objetivo é encontrar o tempo onde os valores finais das duas aplicações se igualam.
Formulação do Problema
A fórmula básica para calcular o montante (M) em juros simples é:
M = C \cdot (1 + i \cdot t)
Onde:
- C é o capital inicial
- i é a taxa de juros na forma decimal
- t é o tempo decorrido
Dados das Aplicações
Vamos organizar as informações fornecidas em uma tabela para facilitar a visualização:
| Aplicação | Capital (C) | Taxa (i) | Tempo (t) |
|---|
| 1ª Aplicação | R$ 300,00 | 10% (0,10) | t |
| 2ª Aplicação | R$ 200,00 | 20% (0,20) | t |
Montagem da Equação
Como queremos saber quando os montantes serão iguais (M_1 = M_2), substituímos os valores na fórmula:
300 \cdot (1 + 0,10 \cdot t) = 200 \cdot (1 + 0,20 \cdot t)
Resolução Passo a Passo
Para simplificar os cálculos, podemos dividir toda a equação por 100:
3 \cdot (1 + 0,10 \cdot t) = 2 \cdot (1 + 0,20 \cdot t)
Agora, realizamos a distribuição dos multiplicadores dentro dos parênteses:
3 + 0,30 \cdot t = 2 + 0,40 \cdot t
Em seguida, agrupamos os termos numéricos em um lado e os termos com a incógnita t no outro lado:
3 - 2 = 0,40 \cdot t - 0,30 \cdot t
Isolamos o valor de t:
1 = 0,10 \cdot t
t = \frac{1}{0,10}
t = 10
Conclusão
O tempo necessário para que os montantes se igualarem é de 10 meses. Isso faz sentido intuitivamente: embora o segundo capital seja menor, ele rende o dobro da taxa (20% contra 10%), então eventualmente ele alcançará o primeiro.
Alternativa D.