Um comerciante colocou à venda certa quantidade de bilas. Inicialmente, ele as distribuiu igualmente em 11 sacos. Em seguida, esvaziou 6 desses sacos e redistribuiu todas as bilas desses sacos entre os 5 sacos restantes, de modo que todos ficassem com a mesma quantidade. Depois, vendeu dois sacos completos. Por fim, utilizou novamente os seis sacos vazios e distribuiu igualmente as bilas restantes entre os 9 sacos. Qual a quantidade mínima de bilas que o comerciante colocou à venda inicialmente?

Alternativa B - 165

Análise do Problema

Para encontrar a quantidade mínima de bilis, precisamos seguir as operações de distribuição passo a passo, garantindo que o número de ovos em cada saco seja sempre um número inteiro.

Passo 1: Distribuição Inicial

O comerciante divide as bilis em 11 sacos iguais.

• Seja N o total de bilis.
• Seja x a quantidade por saco.
• Relação: N = 11 \times x

Passo 2: Primeira Redistribuição

Ele esvazia 6 sacos e coloca o conteúdo neles nos 5 sacos restantes.

• Bilis removidas: $6 \times x$
• Bilis já existentes nos 5 sacos: $5 \times x$
• Total nos 5 sacos: $5x + 6x = 11x$ (que é igual ao total N)
• Distribuição final nos 5 sacos: \frac{11x}{5}

Para que \frac{11x}{5} seja um número inteiro, x deve ser múltiplo de 5.

• Fazemos x = 5k (onde k é um número inteiro).
• Substituindo em N: N = 11 \times 5k = 55k.
• Quantidade atual por saco: \frac{11(5k)}{5} = 11k.

Passo 3: Venda e Restante

Ele vende 2 sacos completos.

• Sacos vendidos: 2
• Sacos restantes: 3 (pois havia 5 após a primeira redistribuição)
• Bilis restantes: $3 \times 11k = 33k$

Passo 4: Segunda Redistribuição

Ele usa os 6 sacos vazios anteriores mais os 3 sacos que sobraram, totalizando 9 sacos.

• Total de bilis a distribuir: $33k$
• Número de sacos: 9
• Novas quantidades: \frac{33k}{9}

Simplificando a fração:
\frac{33k}{9} = \frac{11k}{3}

Para que \frac{11k}{3} seja um número inteiro, k deve ser múltiplo de 3.

• Para achar a quantidade mínima, escolhemos o menor valor positivo para k, que é k = 3.

Cálculo Final

Substituímos k = 3 na expressão do total inicial (N):
N = 55k
N = 55 \times 3
N = 165

Portanto, a quantidade mínima de bilis é 165.

Conclusão

A alternativa correta é a B.