Um empreendedor decidiu abrir uma barraquinha de venda de sorvetes em um parque local. Ele vende cada sorvete por R$ 4,50 e investiu R$ 200,00 no negócio para comprar os ingredientes e a barraquinha. O lucro obtido (y) é uma função da quantidade de sorvetes vendidos (x). Qual das seguintes alternativas representa corretamente o gráfico da função de lucro?

Alternativa A

Para encontrar o gráfico correto da função de lucro, precisamos montar a equação matemática que relaciona a quantidade vendida com o resultado financeiro.

Análise do Problema

O problema descreve uma situação de função afim (reta), onde temos uma receita variável e um custo fixo inicial.

1. Receita (R): É o dinheiro que entra pelas vendas. Se cada sorvete custa R$ 4,50 e vendemos x unidades:
   R(x) = 4,50 \cdot x
2. Custo Inicial (C): É o dinheiro gasto antes de começar a vender (investimento de R$ 200,00). Isso atua como um valor negativo inicial ou despesa fixa:
   C = 200
3. Função de Lucro (y): O lucro é a diferença entre a receita e o custo.
   y = R(x) - C
   y = 4,50x - 200

Identificando os Pontos Chave do Gráfico

Podemos identificar dois pontos cruciais para desenhar ou reconhecer o gráfico desta reta:

• Intercepto em Y (Quando x = 0):
  Representa a situação inicial, sem nenhuma venda feita.
  Substituindo x = 0 na equação:
  y = 4,50(0) - 200 \Rightarrow y = -200
  O gráfico deve cruzar o eixo vertical no valor -200.
• Zero do Função (Quando y = 0):
  Representa o ponto de equilíbrio (onde não há prejuízo nem lucro). Precisamos descobrir quantos sorvetes devem ser vendidos para cobrir os R$ 200,00.
  0 = 4,50x - 200
  200 = 4,50x
  x = \frac{200}{4,50} \approx 44,44
  O gráfico deve cruzar o eixo horizontal aproximadamente em 44,4.

Comparação com as Alternativas

Vamos verificar os gráficos fornecidos:

O gráfico (I) é o único que apresenta tanto o intercepto vertical em -200 quanto o intercepto horizontal próximo a 44,4.

Portanto, a alternativa correta é a A.