Um empreendedor decidiu abrir uma barraquinha de venda de sorvetes em um parque local. Ele vende cada sorvete por R$ 4,50 e investiu R$ 200,00 no negócio para comprar os ingredientes e a barraquinha. O lucro obtido (y) é uma função da quantidade de sorvetes vendidos (x). Qual das seguintes alternativas representa corretamente o gráfico da função de lucro?

Alternativa A

Para encontrar o gráfico correto, precisamos construir a função matemática que descreve o lucro do empreendedor.

Análise do Problema

O problema envolve uma função afim (linear) onde:

1. Variável independente ($x$): Quantidade de sorvetes vendidos.
2. Variável dependente ($y$): Lucro obtido.

Podemos montar a equação baseada na fórmula básica de lucro:
$$Lucro = Receita - Custo$$

• Receita: Cada sorvete custa R$ 4,50. Logo, a receita é $4,50 \cdot x$.
• Custo: O investimento inicial foi de R$ 200,00. Isso representa um custo fixo que deve ser descontado do total vendido.

Portanto, a função do lucro é:
$$y = 4,50x - 200$$

Identificação dos Pontos Chave

Com a função $y = 4,50x - 200$, podemos identificar dois pontos fundamentais para traçar o gráfico:

1. Intercepto com o eixo Y (Quando $x = 0$):

• Substituindo $x$ por 0 na equação: $y = 4,50(0) - 200 \Rightarrow y = -200$.
• O gráfico deve cruzar o eixo vertical no ponto -200. Isso indica que antes de vender nada, o empreendedor está no prejuízo de R$ 200,00.

1. Raiz da Função ou Ponto de Equilíbrio (Quando $y = 0$):

• Para saber quando ele começa a ter lucro, fazemos $y = 0$:
  $$0 = 4,50x - 200$$
  $$200 = 4,50x$$
  $$x = \frac{200}{4,50}$$
  $$x \approx 44,44$$
• O gráfico deve cruzar o eixo horizontal no valor aproximado de 44,4.

Comparação com as Alternativas

Vamos verificar os gráficos apresentados:

O gráfico (I) é o único que apresenta tanto o intercepto negativo em -200 quanto a raiz em 44,4.

Como a alternativa A corresponde ao gráfico (I), esta é a resposta correta.