Um estudante precisa calcular a divisão de 2⁵⁷ por 77. Com base em seus conhecimentos sobre Aritmetica Modular e o Pequeno Teorema de Fermat, o estudante chamou de N o valor do resultado que precisa encontrar e realizou as seguintes simplificações: N = 2⁵⁷ (mod 7) N = 2⁶*⁸+⁵ (mod 7) N = 2⁵ * 2² (mod 7) N = 32 * 4 (mod 7) N = 4 Analise as assertivas a seguir. Da linha (a) para a linha (b) o estudante realizou o seguinte cálculo algébrico, percebeu que 2⁵⁷ pode ser escrito na forma de 6 x 42 + 5. Essa constatação foi obtida após a divisão inteira de por 7 (já que 7 é o valor do módulo e um número primo também). II. Da linha (b) para a linha (c) o estudante apenas realizou operações algébricas com o expoente 2. Conforme a potenciação, sabe-se que podemos escrever 2⁶⁸⁵ = (2⁶)⁸*⁵. III. Da linha (c) para a linha (d) o estudante aplicou o Pequeno Teorema de Fermat, que afirma que 2⁶ ≡ 1 (mod 7), sendo p um número primo. Por isso, 2² ≡ 1 (mod 7). IV. Da linha (d) para a linha (e) o estudante realizou cálculos simples, onde: 2² = 32 e o resto da divisão inteira de 32 por 7 resulta em 4, sendo a resposta final do exercício. Estão corretas apenas as itens:

Alternativa D

Para encontrar a resposta correta, devemos analisar cada uma das assertivas apresentadas no enunciado, verificando a lógica matemática utilizada em cada etapa da resolução.

Análise das Assertivas

Vamos examinar cada item detalhadamente para identificar erros ou acertos nos cálculos e justificativas teóricas.

• Item I (Incorreto): O texto afirma que a decomposição $257 = 6 \times 42 + 5$ foi obtida pela "divisão inteira do expoente por 7". Isso é falso. Para aplicar o Pequeno Teorema de Fermat com módulo p=7, dividimos o expoente por p-1, ou seja, por 6. Se fosse dividido por 7, teríamos $257 = 7 \times 36 + 5$. O uso do número 6 decorre do ciclo de potências módulo 7.
• Item II (Correto): A passagem de $2^{6 \times 42 + 5}$ para (2^6)^{42} \times 2^5 utiliza corretamente as propriedades fundamentais da potenciação:
  a^{m+n} = a^m \cdot a^n
  a^{m \cdot n} = (a^m)^n
  Portanto, a manipulação algébrica está correta.
• Item III (Correto): A substituição de $2^6$ por $1$ baseia-se no Pequeno Teorema de Fermat. Como 7 é primo e não divide 2, vale a relação:
  2^{7-1} \equiv 1 \pmod 7 \Rightarrow 2^6 \equiv 1 \pmod 7
  Assim, (2^6)^{42} \equiv 1^{42} \pmod 7 é uma aplicação válida do teorema.
• Item IV (Correto): Os cálculos finais são aritméticos diretos. Sabemos que $2^5 = 32$. Ao dividir 32 por 7, obtemos quociente 4 e resto 4 ($32 = 4 \times 7 + 4$). Logo, $32 \equiv 4 \pmod 7$. A justificativa está correta.

Conclusão

Com base na análise acima:

• O item I está errado.
• Os itens II, III e IV estão corretos.

Portanto, a alternativa que contém apenas os itens corretos é a D.