Alternativa (a) - Modelo de Programação Linear
Para resolver este problema, devemos primeiro definir as variáveis de decisão que representam as proporções do investimento em cada classe de ativo.
1. Definição das Variáveis:
Seja o vetor de decisão X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}, onde:
- x_1: Proporção investida em Títulos do Tesouro.
- x_2: Proporção investida em Acções.
- x_3: Proporção investida em Obrigações.
Como se trata da composição total de um fundo, assumimos que a soma das proporções é igual a 1 (ou 100%).
2. Função Objetivo:
O objetivo padrão em problemas de portfólio com dados de rentabilidade é maximizar o retorno esperado.
\text{Maximizar } Z = 4x_1 + 11x_2 + 6,5x_3
3. Restrições:
As restrições são derivadas diretamente das regras do regulamento e da política de risco:
- Soma das proporções: O portfólio deve ser completo.
x_1 + x_2 + x_3 = 1 - Mínimo para Títulos do Tesouro: Pelo menos 20%.
x_1 \geq 0,2 - Máximo para Acções: Não pode ultrapassar 30%.
x_2 \leq 0,3 - Risco Médio Ponderado: A média não deve exceder 7,5.
\frac{0,5x_1 + 12x_2 + 4x_3}{x_1 + x_2 + x_3} \leq 7,5
Como o denominador é 1, simplificamos para:
0,5x_1 + 12x_2 + 4x_3 \leq 7,5 - Não negatividade: As proporções não podem ser negativas.
x_1, x_2, x_3 \geq 0
Análise Detalhada
Abaixo apresento a resolução estruturada para ambas as partes da questão.
(a) Modelo Matemático Completo
O modelo de Programação Linear fica definido da seguinte forma:
\begin{align*}
\text{Maximizar } & Z = 4x_1 + 11x_2 + 6,5x_3 \\
\text{Sujeito a: } & \\
& x_1 + x_2 + x_3 = 1 \quad (\text{Composição Total}) \\
& x_1 \geq 0,2 \quad (\text{Tesouro Mínimo}) \\
& x_2 \leq 0,3 \quad (\text{Acções Máximo}) \\
& 0,5x_1 + 12x_2 + 4x_3 \leq 7,5 \quad (\text{Risco Máximo}) \\
& x_1, x_2, x_3 \geq 0 \quad (\text{Variáveis Não Negativas})
\end{align*}
(b) Forma Matricial
A forma matricial geralmente expressa o sistema na estrutura AX \leq B ou combina desigualdades e igualdades. Para fins didáticos, organizamos os coeficientes das restrições em uma matriz A, o vetor das variáveis em X e os limites em B.
Vetor de Variáveis:
X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}
Vetor de Coeficientes da Função Objetivo:
C = \begin{pmatrix} 4 & 11 & 6,5 \end{pmatrix}
Matriz de Restrições (A) e Vetor de Limites (B):
Note que a restrição de soma (=) e a de tesouro (\geq) precisam ser tratadas cuidadosamente. Em forma padrão estrita (Ax \leq b), multiplicamos desigualdades por -1 para virar \leq.
| Restrição | Equação Original | Forma Padrão (\leq) | Linha na Matriz | Limite (b) |
|---|
| Soma Total | x_1 + x_2 + x_3 = 1 | x_1 + x_2 + x_3 = 1 | (1, 1, 1) | $1$ |
| Tesouro Mín | x_1 \geq 0,2 | -x_1 \leq -0,2 | (-1, 0, 0) | -0,2 |
| Acções Máx | x_2 \leq 0,3 | x_2 \leq 0,3 | (0, 1, 0) | $0,3$ |
| Risco Máx | $0,5x_1 + 12x_2 + 4x_3 \leq 7,5$ | $0,5x_1 + 12x_2 + 4x_3 \leq 7,5$ | (0,5, 12, 4) | $7,5$ |
Representação Final:
\text{Max } Z = CX
\text{s.a. } AX \leq B
X \geq 0
Onde:
A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0,5 & 12 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -0,2 \\ 0,3 \\ 7,5 \end{pmatrix}
(Nota: A restrição de soma x_1+x_2+x_3=1 é uma igualdade, frequentemente mantida separada ou dividida em duas desigualdades \leq e \geq dependendo da convenção do curso).
Conclusão
O modelo foi construído identificando corretamente as variáveis de alocação de capital, estabelecendo a maximização do retorno como objetivo e traduzindo rigorosamente as limitações de porcentagem mínima/máxima e o limite de risco médio ponderado nas equações lineares necessárias.