Um pesquisador está investigando o crescimento de uma colônia de bactérias em um ambiente controlado. A população P(t), em milhares de bactérias, é dada pela função: P(t) = 80 ⋅ 2^0,4t onde t é o tempo em horas. Assinale a alternativa que indica após quantas horas a população de bactérias atingirá 1.280.000 bactérias.

Alternativa D

O problema envolve uma função exponencial de crescimento populacional. Para encontrar o tempo correto, precisamos igualar a função à quantidade desejada e resolver para t.

Passo 1: Atentar-se às unidades
A função P(t) mede a população em milhares. O valor alvo é 1.280.000 bactérias. Precisamos converter esse valor para a unidade da função:
P(t) = \frac{1.280.000}{1.000} = 1.280

Passo 2: Substituir na função
Substituimos P(t) por 1.280 na equação dada:
1.280 = 80 \cdot 2^{0,4t}

Passo 3: Isolar a potência
Dividimos ambos os lados por 80 para deixar o termo exponencial sozinho:
\frac{1.280}{80} = 2^{0,4t}
16 = 2^{0,4t}

Passo 4: Resolver a equação exponencial
Sabemos que $16$ é uma potência de base 2 ($2^4 = 16$). Assim, podemos reescrever a equação com a mesma base:
2^4 = 2^{0,4t}

Igualando os expoentes:
4 = 0,4t
t = \frac{4}{0,4}
t = 10

Portanto, serão necessárias 10 horas.

Análise dos Conceitos

• Conversão de Unidades: Erros comuns ocorrem ao não ajustar o número final (1.280.000) para a unidade da função (milhares).
• Função Exponencial: Modela situações de crescimento rápido, onde a variável independente (t) está no expoente.
• Resolução de Equações: Utiliza propriedades de potências de mesma base para isolar a incógnita.

Alternativa D.