Uma empresa utiliza um modelo matemático para estimar o lucro mensal com base no número de unidades vendidas. O número de unidades vendidas é maior ou igual a 100, pois abaixo disso os custos fixos não são cobertos. Com base nessas condições, qual alternativa representa corretamente o domínio do modelo de lucro?

Esta imagem contém três questões de matemática envolvendo funções, domínios e interpretação de problemas de modelagem. Abaixo, apresento a resolução detalhada de cada item.

Análise Detalhada

Questão 1 (Item 9)

Enunciado: Interpretação de um modelo de lucro com restrições de produção.

Análise:
O problema descreve as condições de validade de um modelo matemático baseado no número de unidades vendidas (x).

1. Limite Inferior: O enunciado menciona "maior ou igual a 100". Isso indica que o modelo só é considerado válido para vendas a partir de 100 unidades. Matematicamente: x \geq 100.
2. Limite Superior: O texto afirma que "se o número de unidades vendidas é menor que 500... por cima desse valor a fábrica ultrapassa sua capacidade". Isso sugere que o modelo funciona até o valor 500, mas falha se ultrapassá-lo. Portanto, o limite é estritamente inferior a 500 (ou no máximo 500, dependendo da interpretação de "acima").
3. Domínio: Unindo as duas condições, temos um intervalo fechado em 100 e aberto em 500.
   D = [100, 500)

Comparativo das Alternativas:

• (C) "O modelo vale apenas para números inteiros entre 100 e 500, incluindo 100, mas não incluindo 500."

Esta alternativa descreve exatamente o intervalo encontrado, respeitando a inclusão do limite inferior e a exclusão do limite superior.

Questão 2 (Item 10)

Enunciado: Determinar o conjunto Imagem de uma função definida por partes.

Função:
f(x) = \begin{cases} -x & , x \le -1 \\ x^2 & , -1 < x < 1 \\ x & , x \ge 1 \end{cases}
(Nota: A visualização dos intervalos exatos pode variar levemente, mas a lógica de união dos valores permanece).

Análise passo a passo:

1. Primeira Parte (x \le -1):

• Função: y = -x.
• Se x = -1 \Rightarrow y = 1.
• Se x \to -\infty \Rightarrow y \to +\infty.
• Imagem parcial: [1, +\infty).

1. Segunda Parte (-1 < x < 1):

• Função: y = x^2.
• O valor mínimo ocorre em x=0 \Rightarrow y=0.
• Os valores nas extremidades tendem a 1, mas não o atingem (intervalo aberto).
• Imagem parcial: [0, 1).

1. Terceira Parte (x \ge 1):

• Função: y = x.
• Começa em 1 e vai até +\infty.
• Imagem parcial: [1, +\infty).

1. União das Imagens:
   \text{Im}(f) = [1, +\infty) \cup [0, 1) \cup [1, +\infty)
   \text{Im}(f) = [0, +\infty)

Observação: Na alternativa (C), a notação apresentada é "R, +\infty$" ou similar, o que parece ser uma representação incompleta ou errônea de $[0, +\infty) ou \mathbb{R}^+. Contudo, considerando que as outras alternativas restringem o valor a negativos ou a um único ponto, a única que contempla todos os valores positivos e o zero é a C.

Questão 3 (Item 11)

Enunciado: Encontrar o domínio da função f(x) = \sqrt{4 - x^2}.

Análise:
Para que uma função de raiz quadrada exista no conjunto dos números reais, o termo dentro da raiz (radicando) deve ser maior ou igual a zero.

1. Inequação:
   4 - x^2 \geq 0
2. Resolução:
   4 \geq x^2
   x^2 \leq 4
3. Interpretação:
   O quadrado de x deve ser menor ou igual a 4. Isso ocorre quando x está entre -2 e $2$.
   -2 \leq x \leq 2
4. Conjunto Domínio:
   D = [-2, 2]

Comparativo:

• A alternativa (E) apresenta exatamente [-2, 2].

Respostas Finais

Com base na análise rigorosa de cada questão:

1. Alternativa C - Domínio definido entre 100 e 500.
2. Alternativa C - Imagem correspondente a [0, +\infty).
3. Alternativa E - Domínio da raiz quadrada [-2, 2].