Resposta: R$ 20,00
Esta questão envolve o estudo de Progressão Aritmética (PA) combinado com uma situação financeira simples. Vamos decompor o problema passo a passo para encontrar o valor de cada número comprado.
Identificando os Dados
Primeiro, precisamos extrair as informações matemáticas do enunciado:
- Quantidade de números comprados (n): 5
- Razão da progressão (r): 6
- Relação entre os extremos: O maior número (a_5) é o quádruplo do menor (a_1).
- Condição de custo: O valor total gasto é numericamente igual à soma dos 5 números.
Calculando os Termos da Progressão
A fórmula do termo geral de uma PA é dada por:
a_n = a_1 + (n-1) \cdot r
Aplicando para o quinto termo (n=5):
a_5 = a_1 + (5-1) \cdot 6
a_5 = a_1 + 4 \cdot 6
a_5 = a_1 + 24
Sabemos também pelo enunciado que a_5 = 4 \cdot a_1. Igualamos as duas expressões para encontrar o primeiro termo:
4 \cdot a_1 = a_1 + 24
3 \cdot a_1 = 24
a_1 = 8
Com a_1 = 8, podemos encontrar o último termo:
a_5 = 4 \cdot 8 = 32
Os números comprados são: 8, 14, 20, 26, 32.
Calculando a Soma e o Valor Unitário
Agora calculamos a soma dos 5 números (S_5) usando a fórmula da soma dos termos de uma PA:
S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}
Substituindo os valores:
S_5 = \frac{(8 + 32) \cdot 5}{2}
S_5 = \frac{40 \cdot 5}{2}
S_5 = 20 \cdot 5 = 100
O enunciado afirma que o valor total gasto foi numericamente igual à soma ($100$). Como foram comprados 5 números pelo mesmo preço, dividimos o valor total pela quantidade para achar o preço unitário:
\text{Preço Unitário} = \frac{\text{Valor Total}}{\text{Quantidade}}
\text{Preço Unitário} = \frac{100}{5} = 20
Conclusão
O valor de cada número comprado foi de R$ 20,00.