Usando o ajuste pelo método dos mínimos quadrados, qual das equações abaixo é a equação da reta que melhor se ajusta à tabela.

Question

Usando o ajuste pelo método dos mínimos quadrados, qual das equações abaixo é a equação da reta que melhor se ajusta à tabela. A) Y = 2 – x B) Y = – 4 + 3x C) Y = – 6 + 2x D) Y = 4 – 2x E) Y = 6 – 2x

Sapien IA · Accepted Answer

Alternativa A $Y = 2 x$ Análise Detalhada Para encontrar a equação da reta que melhor se ajusta aos dados pelo método dos mínimos quadrados, utilizamos o modelo de regressão linear simples: $Y = mx + b$, onde $m$ é o coeficiente angular (inclinação) e $b$ é o coeficiente linear (intercepto). Cálculo das Somas Necessárias Primeiro, organizamos os dados da tabela para calcular as somas fundamentais ($n = 5$ pontos): | $X i$ | $Y i$ | $X i \cdot Y i$ | $X i^2$ | | : : | : : | : : | : : | | 1 | 3 | 3 | 1 | | 0 | 2 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 1 | 1 | | 3 | 1 | 3 | 9 | | 5 | 3 | 15 | 25 | | $\sum X = 8$ | $\sum Y = 2$ | $\sum XY = 20$ | $\sum X^2 = 36$ | Determinação do Coeficiente Angular ($m$) A fórmula para o coeficiente angular é: $$m = \frac{n(\sum XY) (\sum X)(\sum Y)}{n(\sum X^2) (\sum X)^2}$$ Substituindo os valores calculados: $$m = \frac{5( 20) (8)(2)}{5(36) (8)^2}$$ $$m = \frac{ 100 16}{180 64}$$ $$m = \frac{ 116}{116}$$ $$m = 1$$ Determinação do Coeficiente Linear ($b$) O coeficiente linear é dado por: $$b = \frac{\sum Y m(\sum X)}{n}$$ Ou utilizando as médias ($\bar{Y} m\bar{X}$): $$\bar{X} = \frac{8}{5} = 1,6 \quad ; \quad \bar{Y} = \frac{2}{5} = 0,4$$ $$b = 0,4 ( 1)(1,6) = 0,4 + 1,6 = 2$$ Substituindo na fórmula direta: $$b = \frac{2 ( 1)(8)}{5} = \frac{2 + 8}{5} = \frac{10}{5} = 2$$ Equação Final Com $m = 1$ e $b = 2$, a equação da reta é: $$Y = 1x + 2 \Rightarrow Y = 2 x$$ Observação: Ao verificar os dados originais, nota se que todos os pontos pertencem exatamente à mesma linha (correlação perfeita), tornando o ajuste exato sem erro residual. Por exemplo, no ponto $(0, 2)$, temos $Y = 2 0 = 2$. Portanto, a alternativa correta é a A .

$X_i$	$Y_i$	$X_i \cdot Y_i$	$X_i^2$
-1	3	-3	1
0	2	0	0
1	1	1	1
3	-1	-3	9
5	-3	-15	25
$\sum X = 8$	$\sum Y = 2$	$\sum XY = -20$	$\sum X^2 = 36$

Explicação passo a passo

Análise Detalhada

Cálculo das Somas Necessárias

Determinação do Coeficiente Angular ( $m$ )

Determinação do Coeficiente Linear ( $b$ )

Equação Final

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