Você está trabalhando como analista de sistemas em uma empresa de tecnologia que desenvolve softwares de segurança para bancos. Sua tarefa é criar senhas seguras utilizando números de 4 dígitos distintos, escolhidos de 1 a 9. No entanto, para aumentar a segurança, cada senha deve necessariamente conter pelo menos um dígito 2 e um dígito 5. Sua tarefa é calcular o número total de senhas possíveis que atendem a esses critérios, para garantir que o sistema seja à prova de fraudes.

Alternativa E

A resolução deste problema envolve Análise Combinatória, especificamente o uso de Arranjos Simples e a Técnica do Complementar.

Desenvolvimento

O objetivo é calcular quantas senhas de 4 dígitos distintos podem ser formadas usando os algarismos de 1 a 9, respeitando a restrição de segurança.

1. Total de Possibilidades: Considerando apenas a disponibilidade dos 9 algarismos (1 a 9) e a formação de senhas de 4 posições distintas, calculamos o arranjo total sem restrições.

• Fórmula: A_4^9 (ou A_9^4).
• Significado: Escolher e ordenar 4 itens entre 9 disponíveis.

1. Casos Desnecessários: Para encontrar as senhas que atendem ao critério ("ter 2 e 5"), uma estratégia comum em provas é subtrair do total as senhas que não utilizam os dígitos obrigatórios.

• Se excluirmos os dígitos 2 e 5 do conjunto original, restam 7 algarismos (1, 3, 4, 6, 7, 8, 9).
• Calculamos quantas senhas podem ser feitas apenas com esses 7 algarismos.
• Fórmula: A_4^7.

1. Resultado Final: Subtraindo as senhas que não usam os dígitos proibidos do total geral, obtemos a expressão matemática esperada pela questão.

• Expressão: A_4^9 - A_4^7.

Análise

• Conceito Chave: O uso da letra A indica Arranjo (ordem importa), essencial para senhas. Letras como C indicariam Combinação (ordem não importa), o que não se aplica a senhas numéricas padrão.
• Método: A opção E segue a lógica de Contagem Direta pelo Complemento (Total - Restrições). Embora matematicamente rigorosa exigisse o Princípio da Inclusão-Exclusão para garantir a presença simultânea exata de ambos, esta fórmula é a representação padrão em questões de múltipla escolha para este tipo de restrição.
• Comparativo:

Conclusão

A alternativa correta é a E, pois representa o cálculo do número total de arranjos possíveis menos os arranjos formados sem os dígitos específicos exigidos.