Você está trabalhando como analista de sistemas em uma empresa de tecnologia e está designado para otimizar um algoritmo que utiliza equações matemáticas para determinar soluções em tempo real. Uma parte do algoritmo envolve a resolução de equações quadráticas, e você deve garantir que o código seja capaz de identificar corretamente as soluções dessas equações dentro de um conjunto específico de números reais. Considere as equações abertas p(x) e q(x) fornecidas a seguir: p(x) : x² - 6x + 5 = 0 q(x) : x² - 13x + 36 = 0 Determine qual conjunto representa corretamente o conjunto-verdade da união de p(x) e q(x) para todos os valores possíveis de x no conjunto dos números reais.

Alternativa E

O objetivo desta questão é encontrar as raízes de duas equações quadráticas distintas e depois combinar todas essas soluções em um único conjunto (união). Vamos resolver cada equação separadamente para identificar seus valores de x.

Análise Matemática

Primeiro, precisamos determinar o conjunto verdade de cada equação individualmente. O conjunto verdade é formado pelos valores de x que satisfazem a igualdade.

1. Resolvendo p(x)

A primeira equação é dada por:
p(x): x^2 - 6x + 5 = 0

Podemos resolvê-la pelo método de fatoração ou fórmula de Bhaskara. Buscamos dois números que multiplicados resultem em $5$ e somados resultem em -6. Esses números são -1 e -5.
Portanto, a equação fatorada fica:
(x - 1)(x - 5) = 0

Isso nos dá as raízes:

• x_1 = 1
• x_2 = 5

O conjunto solução para p(x) é \{1, 5\}.

2. Resolvendo q(x)

A segunda equação é dada por:
q(x): x^2 - 13x + 36 = 0

Buscamos dois números que multiplicados resultem em $36$ e somados resultem em -13. Esses números são -4 e -9.
A equação fatorada fica:
(x - 4)(x - 9) = 0

Isso nos dá as raízes:

• x_1 = 4
• x_2 = 9

O conjunto solução para q(x) é \{4, 9\}.

União dos Conjuntos

A questão pede o conjunto-verdade da união das soluções. Na teoria dos conjuntos, a união (\cup) significa juntar todos os elementos de ambos os grupos, sem repetir nenhum valor.

Ao combinarmos \{1, 5\} com \{4, 9\}, obtemos o conjunto final ordenado:
\{1, 4, 5, 9\}

Comparando este resultado com as alternativas apresentadas, vemos que ele corresponde exatamente à alternativa E.