Considerando os pontos (-1, 1), (1, 1) e (3, -7), faça uma interpolação polinomial para avaliar y=(0).

Alternativa C

O problema solicita o valor de y quando x=0, dado um conjunto de três pontos que devem ser ajustados por um polinômio de interpolação. Como temos 3 pontos distintos, o polinômio terá grau no máximo 2 (uma parábola).

Podemos resolver utilizando a forma geral do polinômio quadrático P(x) = ax^2 + bx + c.

Análise do Problema

1. Identificação da Simetria: Observe os pontos (-1, 1) e (1, 1). Ambos possuem a mesma ordenada (y=1). Isso indica que a parábola é simétrica em relação ao eixo y (onde x=0). Para uma função quadrática, isso implica que o coeficiente do termo linear é zero (b = 0).

• A equação simplifica para: y = ax^2 + c.

1. Montagem do Sistema de Equações: Utilizamos os outros pontos para encontrar os valores de a e c.

• Substituindo o ponto (1, 1):
  a(1)^2 + c = 1 \Rightarrow a + c = 1
• Substituindo o ponto (3, -7):
  a(3)^2 + c = -7 \Rightarrow 9a + c = -7

1. Resolução:

• Subtraímos a primeira equação da segunda:
  (9a + c) - (a + c) = -7 - 1
  8a = -8 \Rightarrow a = -1
• Encontramos c substituindo a:
  -1 + c = 1 \Rightarrow c = 2

1. Avaliação Final: O polinômio interpolador é P(x) = -x^2 + 2. Precisamos avaliar y para x=0:
   y(0) = -(0)^2 + 2 = 2

Portanto, o valor de y(0) é exatamente 2.

Alternativa C.