Considerando os dados da tabela, faça uma interpolação polinomial para avaliar y=(0).

Alternativa C - 2

Conceito de Interpolação Polinomial

A interpolação polinomial consiste em encontrar uma função polinomial que passe exatamente por um conjunto de pontos dados. Com 3 pontos distintos (x_0, x_1, x_2), podemos determinar um polinômio de grau 2 (uma parábola) da forma:

O objetivo é encontrar os coeficientes a, b e c utilizando os pares (x, y) fornecidos na tabela.

Resolução Passo a Passo

Dados da tabela:

• Ponto 1: (-1, 1)
• Ponto 2: (1, 1)
• Ponto 3: (3, -7)

Montamos um sistema de equações substituindo cada ponto na fórmula do polinômio:

1. Substituindo $(-1, 1)$:
   a(-1)^2 + b(-1) + c = 1 \Rightarrow a - b + c = 1
2. Substituindo $(1, 1)$:
   a(1)^2 + b(1) + c = 1 \Rightarrow a + b + c = 1
3. Substituindo $(3, -7)$:
   a(3)^2 + b(3) + c = -7 \Rightarrow 9a + 3b + c = -7

Resolvendo o Sistema

Observando as duas primeiras equações:

• a - b + c = 1
• a + b + c = 1

Somando-as ou subtraindo-as percebemos que b deve ser zero para manter o valor constante (já que x=-1 e x=1 têm o mesmo y=1, a função é simétrica em relação ao eixo Y, logo não há termo linear).
(a + b + c) - (a - b + c) = 1 - 1 \Rightarrow 2b = 0 \Rightarrow b = 0

Com b = 0, simplificamos as equações restantes:

• De a + b + c = 1 \Rightarrow a + c = 1 \Rightarrow a = 1 - c
• Na terceira equação: $9a + 3(0) + c = -7 \Rightarrow 9a + c = -7$

Substituímos a na última equação:
9(1 - c) + c = -7
9 - 9c + c = -7
9 - 8c = -7
-8c = -16
c = 2

Avaliando y(0)

O polinômio encontrado é P(x) = -x^2 + 2.
Para encontrar y(0), substituímos x = 0:
y(0) = -(0)^2 + 2 = 2

Ou, diretamente pela definição do sistema linear, o termo c representa o valor da função quando x=0 (intercepto no eixo Y). Como calculamos c = 2, então y(0) = 2.

Análise

• Método utilizado: Sistema linear de equações (mais intuitivo para poucos pontos).
• Função resultante: y = 2 - x^2.
• Verificação rápida:
• x=-1 \rightarrow y = 2 - 1 = 1 (Confere)
• x=1 \rightarrow y = 2 - 1 = 1 (Confere)
• x=3 \rightarrow y = 2 - 9 = -7 (Confere)
• Resultado final: O valor pedido é 2.