Considere um sistema representado na forma de espaço de estados dado por: y(t) = [0 1] [x₁(t)] Obtenha a representação deste sistema em função de transferência.

Alternativa B

Para encontrar a função de transferência a partir da representação em espaço de estados, utilizamos a fórmula geral:

Passo a Passo do Cálculo

1. Identificar as Matrizes:
   A partir do enunciado, extraímos as matrizes do sistema:

• A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}
• B = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}
• C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}
• D = 0 (não há termo direto)

1. Calcular (sI - A):
   Subtraímos a matriz A da matriz identidade multiplicada por s:
   sI - A = \begin{bmatrix} s & 0 \\ 0 & s \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s-1 & -2 \\ 1 & s-3 \end{bmatrix}
2. Calcular o Determinante (|sI - A|):
   O denominador da função de transferência será este determinante:
   |sI - A| = (s-1)(s-3) - (-2)(1)
   = s^2 - 3s - s + 3 + 2
   = s^2 - 4s + 5
3. Calcular a Inversa (sI - A)^{-1}:
   A inversa é dada pela matriz adjunta dividida pelo determinante. A matriz adjunta de uma matriz $2 \times 2$ troca os elementos da diagonal principal e inverte os sinais dos fora da diagonal:
   \text{Adj}(sI - A) = \begin{bmatrix} s-3 & 2 \\ -1 & s-1 \end{bmatrix}
   Logo:
   (sI - A)^{-1} = \frac{1}{s^2 - 4s + 5} \begin{bmatrix} s-3 & 2 \\ -1 & s-1 \end{bmatrix}
4. Aplicar a Fórmula Final:
   Multiplicamos C \cdot (sI - A)^{-1} \cdot B:
   Y(s)/U(s) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \cdot \left( \frac{1}{s^2 - 4s + 5} \begin{bmatrix} s-3 & 2 \\ -1 & s-1 \end{bmatrix} \right) \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}

Primeiro, fazemos C \cdot \text{Matriz}:
\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} s-3 & 2 \\ -1 & s-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s-3 & 2 \end{bmatrix}

Depois, multiplicamos pelo vetor B:
\begin{bmatrix} s-3 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = (s-3)(0) + (2)(1) = 2

Juntando tudo com o denominador:
\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{2}{s^2 - 4s + 5}

Análise das Alternativas

A alternativa B apresenta exatamente a função de transferência calculada.