Dada a função de transferência G(s) = 3/(s² + 2s + 3), determine o valor aproximado da função G(z), obtida pela discretização de G(s) utilizando o método forward, para um período de amostragem de 0,4.

Análise da Questão

Esta é uma questão de Controle Discreto que solicita a aplicação do método de discretização conhecido como Método Forward (ou Euler Progressivo) para transformar uma função de transferência contínua G(s) em uma função discreta G(z).

A função original fornecida é:
G(s) = \frac{3}{s^2 + 2s + 3}

Com período de amostragem T = 0,4.

Desenvolvimento da Solução

1. Conceito do Método Forward

O método de diferenças finitas avançadas (Forward Euler) aproxima a derivada no tempo contínuo utilizando a fórmula:
s \approx \frac{z - 1}{T}

Onde:

• s é a variável complexa do domínio contínuo (Laplace).
• z é a variável complexa do domínio discreto (Z-transform).
• T é o período de amostragem.

2. Substituição na Função de Transferência

Substituindo s na expressão de G(s) com T = 0,4:

3. Simplificação Algébrica

Primeiro, resolvemos os termos do denominador individualmente:

• Termo quadrático: \left(\frac{z - 1}{0,4}\right)^2 = \frac{(z - 1)^2}{0,16} = 6,25(z^2 - 2z + 1)
• Termo linear: $2\left(\frac{z - 1}{0,4}\right) = 5(z - 1) = 5z - 5$
• Termo constante: $3$

Agora, somamos os termos do denominador:
\text{Denominador} = 6,25(z^2 - 2z + 1) + 5z - 5 + 3
\text{Denominador} = 6,25z^2 - 12,5z + 6,25 + 5z - 2
\text{Denominador} = 6,25z^2 - 7,5z + 4,25

A função fica:
G(z) = \frac{3}{6,25z^2 - 7,5z + 4,25}

4. Normalização

Para obter a forma padrão (coeficiente de z^2 igual a 1), dividimos o numerador e o denominador por $6,25$:

• Numerador: $3 / 6,25 = 0,48$
• Coeficiente de z: -7,5 / 6,25 = -1,2
• Constante: $4,25 / 6,25 = 0,68$

Assim, obtemos a função final:
G(z) = \frac{0,48}{z^2 - 1,2z + 0,68}

Conclusão

A função de transferência discreta G(z) resultante da discretização pelo método Forward com período T=0,4 é:

Resposta Final:
G(z) = \frac{0,48}{z^2 - 1,2z + 0,68}