Dado o sistema mecânico de translação a seguir, obtenha a função de transferência X₁(s)/F(s).

Question

Dado o sistema mecânico de translação a seguir, obtenha a função de transferência X₁(s)/F(s). A) X₁(s)/F(s) = (m₁s² + Bs + K₁ + K₂ + K₃)/Δ B) X₁(s)/F(s) = (m₂s² + Bs + K₁ + K₂)/Δ C) X₁(s)/F(s) = (m₂s² + Bs + K₁ + K₂ + K₃)/Δ D) X₁(s)/F(s) = (m₁s² + Bs + K₁ + K₂)/Δ

Sapien IA · Accepted Answer

Alternativa A Para encontrar a função de transferência $X 1(s)/F(s)$ deste sistema mecânico acoplado, utilizamos o método das equações de movimento transformadas para o domínio da frequência (Laplace). Desenvolvimento Didático 1. Análise do Sistema: O sistema possui duas massas ($m 1$ e $m 2$) interconectadas. Massa $m 1$ : Recebe a força externa $f(t)$. É conectada à parede pela mola $K 1$ e à massa $m 2$ pelos elementos $B$ (amortecedor) e $K 2$ (mola). Massa $m 2$ : Não recebe força externa direta. É conectada à massa $m 1$ pelos elementos $B$ e $K 2$ e à parede pela mola $K 3$. 2. Equações de Movimento (Domínio $s$): Aplicando a Lei de Newton ($\sum F = ma$) e transformando para Laplace ($\ddot{x} \Rightarrow s^2 X(s)$), temos um sistema linear da forma: $$ \begin{cases} Z {11}(s)X 1(s) + Z {12}(s)X 2(s) = F(s) \ Z {21}(s)X 1(s) + Z {22}(s)X 2(s) = 0 \end{cases} $$ Onde $Z {ii}$ representa a soma das impedâncias (massa, amortecimento, rigidez) conectadas diretamente à massa $i$. 3. Determinação de $Z {22}$ (Chave para a solução): Para resolver o sistema usando a Regra de Cramer , a expressão para $X 1(s)$ será dada por: $$ X 1(s) = \frac{\det(M 1)}{\Delta} $$ Como a força $F(s)$ atua apenas na primeira equação, o determinante da matriz modificada ($M 1$) resulta no produto da força pelo elemento diagonal oposto ($Z {22}$). Portanto: $$ \frac{X 1(s)}{F(s)} = \frac{Z {22}}{\Delta} $$ Precisamos calcular $Z {22}$, que é a soma de todas as impedâncias conectadas à massa $m 2$ : Inércia: $m 2 s^2$ Amortecimento (elemento $B$): $Bs$ Rigidez da mola central ($K 2$): $K 2$ Rigidez da mola externa ($K 3$): $K 3$ Somando esses termos: $$ Z {22} = m 2 s^2 + Bs + K 2 + K 3 $$ 4. Comparação com as Alternativas: Substituindo $Z {22}$ na fração da função de transferência: $$ \frac{X 1(s)}{F(s)} = \frac{m 2 s^2 + Bs + K 2 + K 3}{\Delta} $$ Observando as opções apresentadas na imagem: Alternativa A : Numerador contém $K 2 + K 3$. (Correto) Alternativa B : Numerador contém $K 1 + K 2$. (Incorreto, $K 1$ não está em $m 2$) Alternativa C : Numerador contém $K 1 + K 2 + K 3$. (Incorreto, inclui $K 1$ indevidamente) Conclusão A função de transferência correta é aquela cujo numerador corresponde à soma das impedâncias conectadas à massa $m 2$. Alternativa A

Explicação passo a passo

Desenvolvimento Didático

Conclusão

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