Análise da Questão de Controle Contínuo
A questão apresenta um circuito eletrônico baseado em um Amplificador Operacional (Op-Amp) configurado para atuar como um controlador do tipo Proporcional-Derivativo (PD). O objetivo é encontrar a função de transferência E_o(s)/E_i(s) no domínio da frequência (variável s).
1. Identificação do Circuito
O circuito apresentado é uma configuração clássica de Amplificador Inversor, onde a relação entre a tensão de saída e a tensão de entrada é determinada pela razão entre a impedância de feedback (Z_f) e a impedância de entrada (Z_{in}).
- Terminal Inversor (-): Recebe o sinal de entrada e possui o componente de feedback conectado.
- Terminal Não-Inversor (+): Está aterrado.
- Impedância de Entrada (Z_{in}): Formada pelo resistor R_1 em paralelo com o capacitor C_1.
- Impedância de Feedback (Z_f): Formada apenas pelo resistor R_2.
2. Cálculo das Impedâncias
Para realizar a análise no domínio de Laplace (variável s), precisamos converter os componentes passivos em suas impedâncias equivalentes:
- Resistor: Z_R = R
- Capacitor: Z_C = \frac{1}{sC}
Impedância de Entrada (Z_{in}):
Como R_1 e C_1 estão em paralelo, a impedância total é dada pelo produto dividido pela soma:
Z_{in} = R_1 \parallel \frac{1}{sC_1} = \frac{R_1 \cdot \frac{1}{sC_1}}{R_1 + \frac{1}{sC_1}}
Multiplicando numerador e denominador por sC_1, simplificamos para:
Z_{in} = \frac{R_1}{sR_1C_1 + 1}
Impedância de Feedback (Z_f):
É simplesmente o valor do resistor R_2:
Z_f = R_2
3. Determinação da Função de Transferência
A função de transferência de um amplificador inversor é definida pela fórmula geral:
\frac{E_o(s)}{E_i(s)} = - \frac{Z_f}{Z_{in}}
Substituindo as expressões calculadas:
\frac{E_o(s)}{E_i(s)} = - \frac{R_2}{\left( \frac{R_1}{sR_1C_1 + 1} \right)}
Invertendo a fração da impedância de entrada para resolver a divisão:
\frac{E_o(s)}{E_i(s)} = - \frac{R_2}{R_1} (sR_1C_1 + 1)
Organizando os termos para evidenciar a estrutura do controlador PD (Ganho Proporcional + Termo Derivativo):
\frac{E_o(s)}{E_i(s)} = - \frac{R_2}{R_1} (1 + R_1C_1 s)
## Análise das Alternativas
Embora a imagem mostre apenas a Alternativa A, podemos notar uma discrepância importante se compararmos com o cálculo rigoroso:
| Componente | Posição no Diagrama | Valor na Fórmula Correta | Valor na Alternativa A Visível |
|---|
| Ganho DC (Estático) | R_2 (feedback) / R_1 (entrada) | \frac{R_2}{R_1} | \frac{R_1}{R_2} (Invertido) |
| Constante de Tempo | Produto R_1 \cdot C_1 | R_1 C_1 | R_1 C_1 (Correto) |
A alternativa A apresentada na imagem (\frac{R_1}{R_2} \cdot R_1 C_1 s + 1) aparenta conter um erro de inversão nas resistências (colocando R_1 no numerador e R_2 no denominador), ou o diagrama poderia estar sendo interpretado de outra forma não convencional. Contudo, seguindo a teoria padrão de circuitos lineares e amplificadores operacionais ideais, a resistência de feedback (R_2) deve estar no numerador do ganho.
Conclusão Didática:
A função de transferência correta para o circuito descrito é:
\frac{E_o(s)}{E_i(s)} = - \frac{R_2}{R_1} (1 + R_1 C_1 s)
Esta equação confirma que o circuito age como um controlador PD, onde o termo constante (R_2/R_1) é o ganho proporcional e o termo com s (R_1 C_1) introduz a ação derivativa.