Dada a função de transferência $G(s) = rac{s+3}{s+4}$, determine o valor aproximado da função $G(z)$, obtida pela discretização de $G(s)$ utilizando o método do ZOH, para um período de amostragem de 0,1.

Alternativa E

Para encontrar a função de transferência discreta G(z) a partir da contínua G(s) utilizando o método de Zero-Order Hold (ZOH), aplicamos a seguinte relação fundamental:

O problema fornece G(s) = \frac{s+3}{s+4} e o período de amostragem T = 0,1.

Desenvolvimento do Cálculo

1. Expansão em Frações Parciais:
   Primeiro, calculamos a transformada de G(s)/s:
   \frac{G(s)}{s} = \frac{s+3}{s(s+4)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+4}

Determinando os coeficientes A e B:

• Para A: Multiplicamos por s e fazemos s \to 0. A = \frac{0+3}{0+4} = 0,75.
• Para B: Multiplicamos por (s+4) e fazemos s \to -4. B = \frac{-4+3}{-4} = \frac{-1}{-4} = 0,25.

Logo:
\frac{G(s)}{s} = \frac{0,75}{s} + \frac{0,25}{s+4}

1. Aplicação da Transformada Z:
   Utilizamos as tabelas padrão de transformada Z para termos na forma \frac{1}{s} e \frac{1}{s+a}:

• \mathcal{Z} \left\{ \frac{1}{s} \right\} = \frac{z}{z-1}
• \mathcal{Z} \left\{ \frac{1}{s+a} \right\} = \frac{z}{z-e^{-aT}}

Substituindo a=4 e T=0,1:
e^{-aT} = e^{-4 \times 0,1} = e^{-0,4} \approx 0,6703

Assim, a transformada de \frac{G(s)}{s} é:
\mathcal{Z} \left\{ \frac{G(s)}{s} \right\} = 0,75 \frac{z}{z-1} + 0,25 \frac{z}{z-0,6703}

1. Cálculo Final de G(z):
   Agora multiplicamos pelo termo (1 - z^{-1}) = \frac{z-1}{z}:
   G(z) = \frac{z-1}{z} \left[ 0,75 \frac{z}{z-1} + 0,25 \frac{z}{z-0,6703} \right]

Cancelando os z e simplificando:
G(z) = 0,75 + \frac{0,25(z-1)}{z-0,6703}

Colocando em uma única fração:
G(z) = \frac{0,75(z - 0,6703) + 0,25(z-1)}{z - 0,6703}
G(z) = \frac{0,75z - 0,5027 + 0,25z - 0,25}{z - 0,6703}
G(z) = \frac{z - 0,7527}{z - 0,6703}

Análise das Alternativas

Comparando nosso resultado aproximado com as opções disponíveis:

A alternativa E apresenta os valores arredondados corretamente, especialmente o polo $0,67$, que corresponde diretamente ao cálculo e^{-0,4}. As outras alternativas possuem valores numéricos inconsistentes com o expoente calculado.

Portanto, a resposta correta é a Alternativa E.