Determine a derivada da função f(x) = x ⋅ ln x no ponto de abscissa x = 1.

Alternativa B

Para resolver esta questão, precisamos calcular a derivada da função dada e avaliá-la no ponto especificado.

Desenvolvimento

A função apresentada é f(x) = x \cdot \ln x. Para encontrar sua derivada, utilizamos a Regra do Produto, que estabelece que a derivada de um produto de duas funções é a soma do primeiro vezes a derivada do segundo mais o segundo vezes a derivada do primeiro.

A fórmula da regra do produto é:
(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'

Aplicando isso à nossa função:

• Seja u = x, então u' = 1.
• Seja v = \ln x, então v' = \frac{1}{x}.

Calculando a derivada geral f'(x):
f'(x) = (1) \cdot (\ln x) + (x) \cdot \left(\frac{1}{x}\right)

Simplificando a expressão:
f'(x) = \ln x + 1

Agora, devemos determinar o valor da derivada no ponto onde x = 1. Substituímos o valor na equação da derivada:
f'(1) = \ln(1) + 1

Sabemos pela propriedade dos logaritmos naturais que \ln(1) = 0 (pois e^0 = 1). Portanto:
f'(1) = 0 + 1 = 1

Análise

• Regra Utilizada: Derivação por produto (x \cdot \ln x).
• Derivada do Logaritmo: A derivada de \ln x é \frac{1}{x}.
• Propriedade Chave: O logaritmo neperiano de 1 é zero (\ln 1 = 0).
• Resultado Final: O valor calculado é exatamente 1.

Comparando com as alternativas disponíveis:

Alternativa B.