Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da função f(x) = √x em torno do eixo x, no intervalo entre x = 0 e x = 4.

Alternativa D

O problema solicita o cálculo do volume de um sólido de revolução. Para resolver, utilizamos a fórmula fornecida no enunciado, substituindo a função e os limites de integração.

A função dada é f(x) = \sqrt{x}. O intervalo de integração é de a = 0 até b = 4.

A fórmula para o volume é:
V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx

Passo a passo do cálculo

1. Elevar a função ao quadrado:
   Como f(x) = \sqrt{x}, então:
   [f(x)]^2 = (\sqrt{x})^2 = x
2. Montar a integral definida:
   Substituindo na fórmula com os limites $0$ e $4$:
   V = \pi \int_{0}^{4} x \, dx
3. Calcular a primitiva (antiderivada):
   A integral de x é \frac{x^2}{2}. Aplicamos o teorema fundamental do cálculo (depois menos antes):
   V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4}
4. Aplicar os limites de integração:
   Substituímos x = 4 e x = 0:
   V = \pi \left( \frac{4^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right)
   V = \pi \left( \frac{16}{2} - 0 \right)
   V = \pi (8)
   V = 8\pi

Conclusão

O resultado final é $8\pi$, o que corresponde à Alternativa D.