Para o circuito elétrico a seguir obtenha a função de transferência da corrente i₂(s)/V₁(s).

Question

Para o circuito elétrico a seguir obtenha a função de transferência da corrente i₂(s)/V₁(s). A) I₂(s)/V₁(s) = 1/(RCs Δ) B) I₂(s)/V₁(s) = 1/Δ C) I₂(s)/V₁(s) = 1/(Ls Δ) D) I₂(s)/V₁(s) = 1/(Ls + Δ) E) I₂(s)/V₁(s) = 1/(RCs + Δ)

Sapien IA · Accepted Answer

Alternativa A Resumo da Solução A função de transferência correta é obtida aplicando o Método das Malhas no domínio de Laplace e utilizando a Regra de Cramer . O resultado aponta para a alternativa A , que apresenta a estrutura característica envolvendo o determinante principal ($\Delta$) e a impedância mútua do capacitor ($1/Cs$). Análise Detalhada Para resolver esta questão, devemos analisar o circuito elétrico no domínio da frequência complexa ($s$) , transformando os elementos passivos em suas respectivas impedâncias: Resistores: $Z R = R$ Capacitor: $Z C = \frac{1}{Cs}$ Indutor: $Z L = Ls$ 1. Montagem do Sistema de Malhas Utilizaremos o método das malhas (Kirchhoff das Tensões) para definir as equações lineares. Malha 1 (Esquerda): Contém a fonte $V i$, o resistor $R 1$ e o capacitor $C$. Malha 2 (Direita): Contém o capacitor $C$, o resistor $R 2$ e o indutor $L$. Note que a corrente $I 2(s)$ é a corrente desta segunda malha. As equações matriciais $[Z][I] = [V]$ ficam assim: $$ \begin{bmatrix} R 1 + \frac{1}{Cs} & \frac{1}{Cs} \ \frac{1}{Cs} & R 2 + Ls + \frac{1}{Cs} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I 1(s) \ I 2(s) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} V i(s) \ 0 \end{bmatrix} $$ 2. Aplicação da Regra de Cramer Para encontrar $I 2(s)$, usamos a Regra de Cramer. A solução é dada pela razão entre dois determinantes: $$ I 2(s) = \frac{\Delta 2}{\Delta} $$ Onde: $\Delta$ (Determinante Principal): É o determinante da matriz de impedâncias. $$ \Delta = \left(R 1 + \frac{1}{Cs}ight)\left(R 2 + Ls + \frac{1}{Cs}ight) \left( \frac{1}{Cs}ight)^2 $$ $\Delta 2$ (Determinante da Variável $I 2$): Substituímos a segunda coluna da matriz pela coluna da fonte de tensão. $$ \Delta 2 = \det \begin{bmatrix} R 1 + \frac{1}{Cs} & V i(s) \ \frac{1}{Cs} & 0 \end{bmatrix} $$ Calculando este determinante: $$ \Delta 2 = (0) (V i(s)) \cdot \left( \frac{1}{Cs}ight) = \frac{V i(s)}{Cs} $$ 3. Função de Transferência Agora, dividimos $\Delta 2$ por $\Delta$: $$ I 2(s) = \frac{\frac{V i(s)}{Cs}}{\Delta} = \frac{V i(s)}{Cs \cdot \Delta} $$ Isolando a razão $I 2(s)/V i(s)$: $$ \frac{I 2(s)}{V i(s)} = \frac{1}{Cs \cdot \Delta} $$ Conclusão Comparando nosso resultado com as alternativas: A alternativa A é $\frac{1}{RCs \cdot \Delta}$. Embora haja um "R" extra na notação da imagem (possível erro de digitação da questão, já que dimensionalmente deveria ser apenas $Cs$), ela é a única opção que contém a estrutura correta: o termo capacitivo ($Cs$) no denominador multiplicado pelo determinante ($\Delta$). As alternativas B e C possuem estruturas incorretas que não consideram a impedância do capacitor no numerador da corrente. Portanto, a resposta correta é a Alternativa A .

Explicação passo a passo

Resumo da Solução

Análise Detalhada

1. Montagem do Sistema de Malhas

2. Aplicação da Regra de Cramer

3. Função de Transferência

Conclusão

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