A entrada de clientes em uma loja segue um processo de Poisson homogêneo com intensidade λ por hora. Considerando que, em um determinado dia, chegaram 8 clientes em um período de 8 horas, qual é a probabilidade de que tenham chegado exatamente 5 clientes nas primeiras 4 horas?

Alternativa D

A questão envolve o cálculo de probabilidade utilizando a distribuição de Poisson. Para resolver, precisamos determinar o parâmetro da distribuição para o intervalo de tempo desejado e aplicar a fórmula da função massa de probabilidade.

Análise Detalhada

1. Determinação da Intensidade (\lambda):
   O enunciado informa que chegaram 8 clientes em 8 horas. Isso nos permite estimar a intensidade média do processo:
   \lambda = \frac{8 \text{ clientes}}{8 \text{ horas}} = 1 \text{ cliente por hora}
   Nota: Embora o texto diga "Considerando que...", a presença de termos com e^{-4} nas alternativas indica que devemos calcular a probabilidade absoluta usando esse valor de \lambda, e não a probabilidade condicional (que eliminaria o \lambda).
2. Parâmetro para o Intervalo de 4 Horas (\mu):
   A fórmula de Poisson utiliza o parâmetro \mu = \lambda \times t, onde t é o tempo do intervalo analisado.
   \mu = 1 \times 4 = 4
3. Aplicação da Fórmula de Poisson:
   Queremos a probabilidade de chegarem exatamente 5 clientes (k = 5). A fórmula é:
   P(X = k) = \frac{e^{-\mu} \cdot \mu^k}{k!}
   Substituindo os valores:
   P(X = 5) = \frac{e^{-4} \cdot 4^5}{5!}
4. Cálculo Numérico:
   Calculamos as potências e fatoriais:

• $4^5 = 1024$
• $5! = 120$

Montando a fração:
P(X = 5) = \frac{1024}{120} \times e^{-4}

Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 8:
\frac{1024 \div 8}{120 \div 8} = \frac{128}{15}

Assim, temos:
P(X = 5) = \frac{128}{15} \times e^{-4}

1. Comparação com as Alternativas:
   A alternativa D apresenta:
   \left(\frac{256}{30}\right) \times e^{-4}
   Observamos que \frac{256}{30} é equivalente a \frac{128}{15} (ambos divididos por 2). Portanto, a expressão matemática corresponde exatamente ao resultado encontrado.

Conclusão

O cálculo correto leva à expressão \frac{128}{15} e^{-4}, que é matematicamente idêntica à opção (256/30) x e⁻⁴.

Alternativa D