Alternativa D
A questão envolve o cálculo de probabilidade utilizando a distribuição de Poisson. Para resolver, precisamos determinar o parâmetro da distribuição para o intervalo de tempo desejado e aplicar a fórmula da função massa de probabilidade.
Análise Detalhada
- Determinação da Intensidade ($\lambda$):
O enunciado informa que chegaram 8 clientes em 8 horas. Isso nos permite estimar a intensidade média do processo:
$$ \lambda = \frac{8 \text{ clientes}}{8 \text{ horas}} = 1 \text{ cliente por hora} $$
Nota: Embora o texto diga "Considerando que...", a presença de termos com $e^{-4}$ nas alternativas indica que devemos calcular a probabilidade absoluta usando esse valor de $\lambda$, e não a probabilidade condicional (que eliminaria o $\lambda$). - Parâmetro para o Intervalo de 4 Horas ($\mu$):
A fórmula de Poisson utiliza o parâmetro $\mu = \lambda \times t$, onde $t$ é o tempo do intervalo analisado.
$$ \mu = 1 \times 4 = 4 $$ - Aplicação da Fórmula de Poisson:
Queremos a probabilidade de chegarem exatamente 5 clientes ($k = 5$). A fórmula é:
$$ P(X = k) = \frac{e^{-\mu} \cdot \mu^k}{k!} $$
Substituindo os valores:
$$ P(X = 5) = \frac{e^{-4} \cdot 4^5}{5!} $$ - Cálculo Numérico:
Calculamos as potências e fatoriais:
Montando a fração:
$$ P(X = 5) = \frac{1024}{120} \times e^{-4} $$
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 8:
$$ \frac{1024 \div 8}{120 \div 8} = \frac{128}{15} $$
Assim, temos:
$$ P(X = 5) = \frac{128}{15} \times e^{-4} $$
- Comparação com as Alternativas:
A alternativa D apresenta:
$$ \left(\frac{256}{30}\right) \times e^{-4} $$
Observamos que $\frac{256}{30}$ é equivalente a $\frac{128}{15}$ (ambos divididos por 2). Portanto, a expressão matemática corresponde exatamente ao resultado encontrado.
Conclusão
O cálculo correto leva à expressão $\frac{128}{15} e^{-4}$, que é matematicamente idêntica à opção (256/30) x e⁻⁴.
Alternativa D