A temperatura (em graus Celsius) numa região de uma cidade foi medida quatro vezes durante um dia ensolarado e construiu-se a seguinte tabela com os dados: | Hora | 9 | 11 | 13 | 14 | |---|---|---|---|---| | Temperatura | 25 | 27 | 33 | 36 | Fonte: Elaborada pelo autor. Utilizando interpolação sobre todos os pontos dados, estime a temperatura da região dessa cidade às 10 horas nesse mesmo dia.

Alternativa C

O problema solicita uma estimativa da temperatura às 10 horas utilizando interpolação sobre todos os pontos dados. Isso indica que devemos encontrar um polinômio que passe por todas as coordenadas fornecidas na tabela e calcular o valor para x = 10. O método mais adequado para isso é a Interpolação de Lagrange.

Dados do Problema

Temos quatro pares de valores (Tempo, Temperatura):
(9, 25), (11, 27), (13, 33), (14, 36)

Queremos encontrar f(10). A fórmula de Lagrange é dada por:
P(x) = \sum_{j=0}^{n} y_j \cdot L_j(x)
Onde cada termo L_j(x) é calculado como:
L_j(x) = \prod_{i=0, i \neq j}^{n} \frac{x - x_i}{x_j - x_i}

Análise dos Cálculos

Vamos calcular o peso de cada ponto para x = 10:

• Para o ponto (9, 25):
  L_0(10) = \frac{(10-11)(10-13)(10-14)}{(9-11)(9-13)(9-14)} = \frac{(-1)(-3)(-4)}{(-2)(-4)(-5)} = \frac{-12}{-40} = 0,3
  Contribuição: $25 \times 0,3 = 7,5$
• Para o ponto (11, 27):
  L_1(10) = \frac{(10-9)(10-13)(10-14)}{(11-9)(11-13)(11-14)} = \frac{(1)(-3)(-4)}{(2)(-2)(-3)} = \frac{12}{12} = 1,0
  Contribuição: $27 \times 1,0 = 27,0$
• Para o ponto (13, 33):
  L_2(10) = \frac{(10-9)(10-11)(10-14)}{(13-9)(13-11)(13-14)} = \frac{(1)(-1)(-4)}{(4)(2)(-1)} = \frac{4}{-8} = -0,5
  Contribuição: $33 \times (-0,5) = -16,5$
• Para o ponto (14, 36):
  L_3(10) = \frac{(10-9)(10-11)(10-13)}{(14-9)(14-11)(14-13)} = \frac{(1)(-1)(-3)}{(5)(3)(1)} = \frac{3}{15} = 0,2
  Contribuição: $36 \times 0,2 = 7,2$

Conclusão

Somando as contribuições de todos os termos:
P(10) = 7,5 + 27,0 - 16,5 + 7,2 = 25,2

Portanto, a temperatura estimada é 25,2°C, correspondendo à alternativa C.