Seja z=e^x, onde x é uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo de 0,1. Qual é a função de distribuição acumulada de z?

Question

Sapien IA · Accepted Answer

Função de Distribuição Acumulada de Z = e^X

A função de distribuição acumulada de Z é:

F_Z(z) = \begin{cases} 0 & \text{se } z < 1 \\ \ln(z) & \text{se } 1 \leq z \leq e \\ 1 & \text{se } z > e \end{cases}

X segue uma distribuição uniforme no intervalo [0, 1]:

Característica	Valor
Densidade f_X(x)	1 para 0 ≤ x ≤ 1
CDF F_X(x)	x para 0 ≤ x ≤ 1

Como Z = e^X e X ∈ [0, 1]:

Logo, Z está definido no intervalo [1, e]

Utilizando a definição de CDF:

F_Z(z) = P(Z \leq z) = P(e^X \leq z)

Como e^X é função estritamente crescente:

P(e^X \leq z) = P(X \leq \ln(z)) = F_X(\ln(z))

Caso	Condição	Resultado
1	z < 1	F_Z(z) = 0 (Z nunca assume valores menores que 1)
2	1 ≤ z ≤ e	F_Z(z) = ln(z) (pois 0 ≤ ln(z) ≤ 1)
3	z > e	F_Z(z) = 1 (probabilidade total alcançada)

Transformação monotônica: A função g(x) = e^x é estritamente crescente, preservando a ordem das probabilidades
Intervalo transformado: O intervalo [0,1] de X transforma-se em [1,e] de Z
Função resultante: ln(z) cresce suavemente de 0 (em z=1) até 1 (em z=e)
Continuidade: A função é contínua em todos os pontos do domínio

A função de distribuição acumulada de Z = e^X, onde X ~ U[0,1], é dada por:

F_Z(z) = ln(z) para 1 ≤ z ≤ e, com valor 0 para z < 1 e 1 para z > e