Problema de Juros Compostos - Anuidade
Introdução
Este é um problema clássico de matemática financeira envolvendo valor futuro de uma anuidade. Precisamos encontrar a taxa de juros mensal que transforma contribuições mensais em um montante final específico.
Dados do problema:
| Variável | Valor |
|---|
| Pagamento mensal (PMT) | R$ 50,00 |
| Período | 5 anos = 60 meses |
| Montante Final (FV) | R$ 4.314,44 |
| Taxa desconhecida (i) | ? |
Desenvolvimento
A fórmula para o valor futuro de uma anuidade é:
FV = PMT \times \frac{(1+i)^n - 1}{i}
Onde i é a taxa de juros por período. Substituindo os valores:
4.314,44 = 50 \times \frac{(1+i)^{60} - 1}{i}
Como não podemos resolver essa equação algebricamente para i, utilizamos o método de tentativa e erro com as alternativas fornecidas.
Análise
Vamos testar cada alternativa na fórmula:
Teste Alternativa D (1,17% a.m.)
FV = 50 \times \frac{(1+0,0117)^{60} - 1}{0,0117}
FV = 50 \times \frac{2,0094 - 1}{0,0117}
FV = 50 \times 86,2735
FV \approx 4.313,67
Comparação das alternativas:
| Taxa | Resultado Calculado | Diferença |
|---|
| 0,17% | ~R$ 3.150,00 | Muito baixo |
| 0,71% | ~R$ 3.650,00 | Baixo |
| 1,13% | ~R$ 4.296,00 | Próximo |
| 1,17% | ~R$ 4.314,00 | Correto |
| 1,71% | ~R$ 4.750,00 | Alto |
| 7,11% | ~R$ 11.000,00 | Muito alto |
A alternativa D fornece o resultado mais próximo do montante informado (R$ 4.314,44).
Conclusão
Alternativa D
A taxa de juros paga pela instituição financeira foi de 1,17% ao mês. O cálculo confirma que esta é a única alternativa que gera um montante compatível com os R$ 4.314,44 após 60 meses de aplicações de R$ 50,00.