Com o objetivo de determinar a margem de erro de pesquisas estatísticas no âmbito eleitoral, um instituto de pesquisas modelou a função f(x) = |(2x - 80000)/45000| + 50, em que x é o tamanho da amostra, com x ≥ 10.000. Se a amostra for de 40.000 pessoas, então a margem de erro será

Alternativa E

Para encontrar a resposta, precisamos calcular o valor da função f(x) utilizando o tamanho da amostra fornecido no enunciado e analisar as propriedades da função para identificar se é um erro mínimo ou máximo.

Cálculo da Margem de Erro

A função dada é:
f(x) = \left| \frac{2x - 80000}{45000} \right| + 50

Sabemos que o tamanho da amostra (x) é de 40.000 pessoas. Substituindo x na equação:

1. Multiplicamos x por 2:
   2 \times 40\,000 = 80\,000
2. Subtraímos 80.000 do resultado:
   80\,000 - 80\,000 = 0
3. Dividimos por 45.000 e somamos 50:
   \left| \frac{0}{45\,000} \right| + 50 = 0 + 50 = 50

Portanto, a margem de erro calculada é de 50 eleitores. Isso elimina imediatamente as alternativas que indicam 3,5 ou 53,5.

Análise do Mínimo e Máximo

Para saber se este valor representa o erro mínimo ou máximo, analisamos a estrutura da função:

• A função contém um valor absoluto (módulo): \left| \frac{2x - 80000}{45000} \right|.
• O valor absoluto de qualquer número real é sempre maior ou igual a zero (\geq 0).
• O menor valor possível para o módulo é zero, o que ocorre quando o numerador é zero (ou seja, quando $2x = 80000 \Rightarrow x = 40\,000$).

Quando o módulo atinge seu valor mínimo (zero), a função completa atinge seu valor mínimo global:
f_{min} = 0 + 50 = 50

Qualquer outro valor de x diferente de 40.000 fará com que o módulo seja positivo, aumentando o resultado final acima de 50. Logo, 50 não pode ser o erro máximo, pois existem erros maiores dependendo do tamanho da amostra.

Conclusão

A substituição direta resulta em 50 eleitores, e a análise matemática demonstra que este é o ponto de mínimo da função. Portanto, a alternativa correta é a E.