Considere duas variáveis aleatórias discretas X e Y, ambas com distribuição binomial. Sabe-se que: X: (2, p) e Y: (4, p). Se P (X ≥ 1) = 5/9 então P (Y = 1) é:

Question

Considere duas variáveis aleatórias discretas X e Y, ambas com distribuição binomial. Sabe se que: X: (2, p) e Y: (4, p). Se P (X ≥ 1) = 5/9 então P (Y = 1) é: A) 65/81 B) 16/81 C) 32/81 D) 16/27 E) 40/81

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Alternativa C O problema envolve duas variáveis aleatórias discretas com distribuição binomial, onde precisamos encontrar o valor da probabilidade de sucesso $p$ primeiro e depois calcular a probabilidade para a segunda variável. Análise do Problema Para resolver esta questão, seguiremos dois passos principais: 1. Determinar o valor de $p$: Usaremos a informação dada sobre a variável $X$ para encontrar a probabilidade de sucesso. 2. Calcular $P(Y = 1)$: Com o valor de $p$ conhecido, aplicaremos a fórmula da distribuição binomial para a variável $Y$. Passo 1: Encontrando a probabilidade de sucesso ($p$) Sabemos que $X$ segue uma distribuição binomial $b(n, p)$ com $n = 2$. A probabilidade de um evento em uma distribuição binomial é dada por: $$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 p)^{n k}$$ O enunciado nos dá $P(X \geq 1) = \frac{5}{9}$. É mais fácil trabalhar com o evento complementar, pois $P(X \geq 1)$ é igual a 1 menos a probabilidade de não ter nenhum sucesso ($X = 0$): $$P(X \geq 1) = 1 P(X = 0)$$ Substituindo os valores na fórmula para $X = 0$ (onde $n=2$): $$P(X = 0) = \binom{2}{0} p^0 (1 p)^{2 0} = 1 \cdot 1 \cdot (1 p)^2 = (1 p)^2$$ Agora montamos a equação usando o dado do problema: $$1 (1 p)^2 = \frac{5}{9}$$ Isolando $(1 p)^2$: $$(1 p)^2 = 1 \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$$ Tirando a raiz quadrada dos dois lados (lembrando que $1 p$ deve ser positivo, já que $p$ é uma probabilidade): $$1 p = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$$ Logo, encontramos $p$: $$p = 1 \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$ Passo 2: Calculando $P(Y = 1)$ Agora sabemos que $p = \frac{1}{3}$. A variável $Y$ segue uma distribuição binomial $b(4, p)$, ou seja, $n = 4$ e a probabilidade de sucesso é $\frac{1}{3}$. Queremos calcular a probabilidade de exatamente 1 sucesso ($k=1$): $$P(Y = 1) = \binom{4}{1} p^1 (1 p)^{4 1}$$ Calculando cada parte: O coeficiente binomial $\binom{4}{1} = 4$ $p^1 = \left(\frac{1}{3}ight)^1 = \frac{1}{3}$ $(1 p)^3 = \left(1 \frac{1}{3}ight)^3 = \left(\frac{2}{3}ight)^3 = \frac{8}{27}$ Multiplicando tudo junto: $$P(Y = 1) = 4 	imes \frac{1}{3} 	imes \frac{8}{27}$$ $$P(Y = 1) = \frac{32}{81}$$ Portanto, a alternativa correta é a C .

Explicação passo a passo

Análise do Problema

Passo 1: Encontrando a probabilidade de sucesso ( $p$ )

Passo 2: Calculando $P(Y = 1)$

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