Considere duas variáveis aleatórias discretas X e Y, ambas com distribuição binomial. Sabe-se que: X: b (2, p) e Y: b (4, p). Se P (X ≥ 1) = 5/9 então P (Y = 1) é:

Alternativa C

Este exercício envolve o cálculo de probabilidades utilizando a distribuição binomial. Para resolvê-lo, devemos primeiro determinar o valor da probabilidade de sucesso p utilizando os dados da variável X e, em seguida, aplicar esse valor à variável Y.

A fórmula geral para a distribuição binomial é dada por:
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

Análise do Problema

O problema fornece duas variáveis:

• X \sim b(2, p), onde n=2.
• Y \sim b(4, p), onde n=4.
• A condição conhecida é P(X \geq 1) = 5/9.

Passo 1: Encontrar o valor de p usando a variável X

Sabemos que a soma das probabilidades de todos os eventos possíveis é igual a 1. Portanto, a probabilidade de X ser maior ou igual a 1 pode ser calculada subtraindo a probabilidade de X ser igual a 0 do total:
P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)

Substituindo o valor dado ($5/9$):
1 - P(X = 0) = \frac{5}{9}
P(X = 0) = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}

Agora, aplicamos a fórmula da binomial para X=0 (com n=2):
P(X = 0) = \binom{2}{0} p^0 (1-p)^{2-0}
\frac{4}{9} = 1 \cdot 1 \cdot (1-p)^2
(1-p)^2 = \frac{4}{9}

Extraindo a raiz quadrada (considerando apenas a raiz positiva, pois p é uma probabilidade entre 0 e 1):
1-p = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}
p = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

Passo 2: Calcular P(Y = 1) usando a variável Y

Com o valor de p = 1/3, analisamos a variável Y \sim b(4, p), onde n=4. Precisamos encontrar a probabilidade de Y ser exatamente 1:
P(Y = 1) = \binom{4}{1} p^1 (1-p)^{4-1}

Substituindo os valores (p = 1/3 e $1-p = 2/3$):
P(Y = 1) = 4 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^1 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3

Calculando as potências e produtos:
P(Y = 1) = 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{8}{27}
P(Y = 1) = \frac{32}{81}

Conclusão

O resultado obtido corresponde à fração 32/81, que se encontra na alternativa C.