Considere o seguinte conhecimento: Numa dada região há um problema grave com uma doença, a qual é detectada principalmente por dois sintomas (A e B) com probabilidades de ocorrência de 20% e 30% respectivamente. A probabilidade de alguém ter a doença, não tendo qualquer sintoma é de 5%, se tiver o sintoma A a probabilidade sobe para 20%, com o sintoma B a probabilidade fica em 40%, e tendo ambos os sintomas, a probabilidade é de 50%. Construa uma rede de Bayes, que represente este conhecimento. Calcule a probabilidade de alguém que tem a doença, não ter nenhum dos sintomas.

Resposta Direta

A probabilidade de uma pessoa que tem a doença não apresentar nenhum dos sintomas é de aproximadamente 15,38%.

Desenvolvimento da Solução

1. Entendendo o Problema e a Rede de Bayes

O objetivo é modelar uma situação médica onde a Doença (D) é a causa e os Sintomas (A e B) são efeitos.

• Estrutura da Rede: O nó raiz é a Doença (D). Ele aponta para os nós Sintoma A (A) e Sintoma B (B). Isso representa que a presença da doença influencia a probabilidade de aparecerem os sintomas.
• Variáveis:
• P(A) = 0,20 (20%)
• P(B) = 0,30 (30%)
• Assumimos independência entre os sintomas na população geral para calcular as configurações básicas.

2. Cálculo das Probabilidades das Configurações de Sintomas

Primeiro, calculamos a probabilidade de cada combinação de sintomas ocorrer na população:

3. Lei da Probabilidade Total para a Doença

Para encontrar a probabilidade total de ter a doença (P(D)), somamos as contribuições de cada cenário, multiplicando a probabilidade do cenário pela probabilidade condicional da doença naquele cenário:

Substituindo os dados fornecidos no enunciado:
P(D) = (0,05 \times 0,56) + (0,20 \times 0,14) + (0,40 \times 0,24) + (0,50 \times 0,06)
P(D) = 0,028 + 0,028 + 0,096 + 0,030 = 0,182

Ou seja, 18,2% da população tem a doença segundo este modelo.

4. Aplicação do Teorema de Bayes

A pergunta pede a probabilidade de não ter sintomas dado que tem a doença: P(\neg A \land \neg B | D).

Utilizamos a fórmula de Bayes:
P(\neg A \land \neg B | D) = \frac{P(D | \neg A \land \neg B) \cdot P(\neg A \land \neg B)}{P(D)}

Substituindo os valores calculados:

• Numerador (Contribuição dos sem sintomas): $0,05 \times 0,56 = 0,028$
• Denominador (Probabilidade Total da Doença): $0,182$

Convertendo para porcentagem, temos 15,38%.