Considere uma urna que possui quatro bolas brancas e três pretas. A probabilidade de obtermos duas bolas brancas em seis retiradas com reposição da bola retirada e a probabilidade de obtermos uma bola preta em quatro retiradas com reposição são, respectivamente:

Introdução

O problema envolve o cálculo de probabilidades utilizando a distribuição binomial, pois temos um número fixo de tentativas independentes (retiradas com reposição) e dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso).

Desenvolvimento

1. Probabilidades base:

• Total de bolas: 7 (4 brancas + 3 pretas).
• Probabilidade de obter uma bola branca (p): $4/7$.
• Probabilidade de obter uma bola preta (q): $3/7$.

2. Probabilidade de 2 brancas em 6 retiradas:

• Usamos a fórmula P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}.
• n=6, k=2.
• P(X=2) = \binom{6}{2} \times (4/7)^2 \times (3/7)^4.
• P(X=2) = 15 \times (16/49) \times (81/2401) = 19440/117649 \approx 0,1652 (ou 16,52%).

3. Probabilidade de 1 preta em 4 retiradas:

• n=4, k=1.
• P(Y=1) = \binom{4}{1} \times (3/7)^1 \times (4/7)^3.
• P(Y=1) = 4 \times (3/7) \times (64/343) = 768/2401 \approx 0,3199 (ou 31,99%).

Análise

• O cálculo da branca exige atenção ao quadrado do denominador ($7^6$) e ao valor do fatorial (\binom{6}{2}=15).
• O cálculo da preta envolve a potência do fracasso ($4^3$) e a multiplicação pelo número de combinações ($4$).

Conclusão

As probabilidades são 16,52% e 31,99%.