Esta é uma questão de Estatística Descritiva envolvendo cálculo de medidas de posição (média, mediana, moda, quartis, decis, percentis) e medidas de dispersão (variância, desvio padrão, desvio médio) para dados não agrupados (Questão 1) e agrupados em intervalos de classe (Questão 2).
Análise Detalhada das Resoluções
Questão 1: Dados Não Agrupados
Neste caso, temos uma variável discreta ("Número de defeitos") com suas respectivas frequências absolutas.
1. Construção da Tabela de Frequências Acumuladas ($F_i$)
Primeiro, organizamos os dados para facilitar a localização da mediana e outros valores.
| Nº de defeitos ($x$) | Nº de carros ($f$) | Frequência Acumulada ($F_i$) |
|---|
| 1 | 15 | 15 |
| 2 | 20 | 35 |
| 3 | 30 | 65 |
| 4 | 17 | 82 |
| 5 | 11 | 93 |
| 6 | 7 | 100 |
| Total ($N$) | 100 | |
2. Cálculos de Medidas de Posição
- Média ($\bar{x}$):
$$ \bar{x} = \frac{\sum (x \cdot f)}{N} = \frac{1(15) + 2(20) + 3(30) + 4(17) + 5(11) + 6(7)}{100} = \frac{310}{100} = \mathbf{3.1} $$ - Mediana ($Me$):
Posição: $\frac{N}{2} = 50$. O valor 50 encontra-se na frequência acumulada entre 35 e 65, correspondente ao defeito 3.
$$ Me = \mathbf{3} $$ - Moda ($Mo$):
O valor com maior frequência absoluta é 30, que corresponde ao defeito 3.
$$ Mo = \mathbf{3} $$ - 3º Quartil ($Q_3$):
Posição: $\frac{3 \cdot 100}{4} = 75$. Encontra-se na faixa acumulada 65–82 (Defeito 4).
$$ Q_3 = \mathbf{4} $$ - 6º Decil ($D_6$):
Posição: $\frac{6 \cdot 100}{10} = 60$. Encontra-se na faixa acumulada 35–65 (Defeito 3).
$$ D_6 = \mathbf{3} $$ - 90º Percentil ($P_{90}$):
Posição: $\frac{90 \cdot 100}{100} = 90$. Encontra-se na faixa acumulada 82–93 (Defeito 5).
$$ P_{90} = \mathbf{5} $$
3. Cálculos de Dispersão
$$ DM = \frac{\sum f \cdot |x - \bar{x}|}{N} = \frac{113}{100} = \mathbf{1.13} $$
- Variância ($S^2$):
$$ S^2 = \frac{\sum f \cdot x^2}{N} - (\bar{x})^2 = \frac{1164}{100} - (3.1)^2 = 11.64 - 9.61 = \mathbf{2.03} $$ - Desvio Padrão ($S$):
$$ S = \sqrt{2.03} \approx \mathbf{1.42} $$
Questão 2: Dados Agrupados em Intervalos de Classe
Aqui trabalhamos com idades em classes. Precisamos usar os pontos médios ($x_i$) para os cálculos de média e dispersão, e interpolação linear para mediana/quartis.
1. Tabela Auxiliar
| Classe | $f$ | $F_i$ | $x_i$ (Ponto Médio) | $f \cdot x_i$ | $f \cdot x_i^2$ |
|---|
| 5 — 15 | 10 | 10 | 10 | 100 | 1.000 |
| 15 — 25 | 25 | 35 | 20 | 500 | 10.000 |
| 25 — 35 | 30 | 65 | 30 | 900 | 27.000 |
| 35 — 45 | 42 | 107 | 40 | 1.680 | 67.200 |
| 45 — 55 | 28 | 135 | 50 | 1.400 | 70.000 |
| 55 — 65 | 16 | 151 | 60 | 960 | 57.600 |
| 65 — 75 | 14 | 165 | 70 | 980 | 68.600 |
| 75 — 85 | 5 | 170 | 80 | 400 | 32.000 |
| Total | 170 | | | 6.920 | 333.400 |
2. Cálculos de Medidas de Posição
- Média ($\bar{x}$):
$$ \bar{x} = \frac{6920}{170} \approx \mathbf{40.71} \text{ anos} $$ - Mediana ($Me$):
Posição: $170/2 = 85$. Classe [35, 45[ ($F_i$ vai de 65 a 107).
$$ Me = 35 + \frac{(85 - 65) \cdot 10}{42} = 35 + \frac{200}{42} \approx \mathbf{39.76} $$ - Moda ($Mo$):
Classe modal: [35, 45[ (maior frequência 42).
$$ Mo = 35 + \frac{42-30}{(42-30) + (42-28)} \cdot 10 = 35 + \frac{12}{26} \cdot 10 \approx \mathbf{39.62} $$ - 1º Quartil ($Q_1$):
Posição: $170/4 = 42.5$. Classe [25, 35[.
$$ Q_1 = 25 + \frac{(42.5 - 35) \cdot 10}{30} = 25 + \frac{75}{30} = \mathbf{27.5} $$ - 7º Decil ($D_7$):
Posição: $7 \cdot 170 / 10 = 119$. Classe [45, 55[.
$$ D_7 = 45 + \frac{(119 - 107) \cdot 10}{28} = 45 + \frac{120}{28} \approx \mathbf{49.29} $$ - 45º Percentil ($P_{45}$):
Posição: $45 \cdot 170 / 100 = 76.5$. Classe [35, 45[.
$$ P_{45} = 35 + \frac{(76.5 - 65) \cdot 10}{42} = 35 + \frac{115}{42} \approx \mathbf{37.74} $$
3. Cálculos de Dispersão
- Variância ($S^2$):
$$ S^2 = \frac{333400}{170} - (40.71)^2 = 1961.18 - 1657.30 = \mathbf{303.88} $$ - Desvio Padrão ($S$):
$$ S = \sqrt{303.88} \approx \mathbf{17.43} $$ - Desvio Médio ($DM$):
Calculado pela soma dos desvios absolutos dividida pelo total ($N=170$).
$$ DM \approx \mathbf{13.83} $$
Conclusão
As resoluções demonstram a aplicação prática das fórmulas de estatística descritiva. A Questão 1 trata de dados discretos simples, enquanto a Questão 2 exige interpolação para dados contínuos agrupados. Os resultados indicam que, na primeira situação, há baixa dispersão (DP $\approx 1.4$), enquanto na segunda, há alta variabilidade nas idades (DP $\approx 17.4$).