Em uma fábrica, a chance de uma máquina parar por falta de manutenção é de 0,2. Qual a probabilidade de, entre 5 máquinas, 3 pararem por falta de manutenção?

Question

Sapien IA · Accepted Answer

Resolução do Problema de Probabilidade Binomial

Resumo da Resposta

A probabilidade de exatamente 3 máquinas pararem por falta de manutenção é 0.0512 ou 5.12%.

Análise Detalhada

Identificação do Tipo de Distribuição

Este problema utiliza a Distribuição Binomial porque:

Característica	Verificada no Problema
Número fixo de tentativas	✅ 5 máquinas
Dois resultados possíveis	✅ Parar / Não parar
Probabilidade constante	✅ p = 0.2 para cada máquina
Independência entre eventos	✅ Cada máquina age independentemente

Fórmula da Distribuição Binomial

A fórmula geral é:

P(X = k) = C(n, k) \times p^k \times (1-p)^{n-k}

Onde:

$n$ : número total de tentativas (máquinas) = 5
$k$ : número de sucessos desejados (máquinas que param) = 3
$p$ : probabilidade de sucesso em cada tentativa = 0.2
$(1-p)$ : probabilidade de fracasso = 0.8
$C(n, k)$ : combinação de $n$ elementos tomados $k$ a $k$

Passo a Passo do Cálculo

1. Calcular o coeficiente binomial $C(5, 3)$ :

C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{120}{6 \times 2} = 10

2. Calcular $p^k$ :

0.2^3 = 0.008

3. Calcular $(1-p)^{n-k}$ :

0.8^{5-3} = 0.8^2 = 0.64

4. Multiplicar todos os componentes:

P(X = 3) = 10 \times 0.008 \times 0.64 = 0.0512

Interpretação do Resultado

Valor	Significado
0.0512	Probabilidade exata
5.12%	Probabilidade em porcentagem
~1 em 20	Frequência esperada

Isso significa que, se repetirmos este cenário muitas vezes, aproximadamente 5 a 6 vezes em cada 100, teremos exatamente 3 máquinas parando.

Conclusão

A resposta correta é 0.0512 (ou 5.12%). Este resultado demonstra como mesmo com uma probabilidade individual baixa (20%), a chance de múltiplos eventos ocorrerem simultaneamente diminui significativamente devido à natureza multiplicativa da distribuição binomial.

Explicação passo a passo

Resumo da resposta