A probabilidade de o Manuel ter pneumonia, dado que ele tem dores no peito, é de 9%.
Análise Detalhada
Este problema envolve Probabilidade Condicional e requer o uso do Teorema de Bayes, pois precisamos inverter uma condição conhecida para encontrar a probabilidade inversa.
1. Identificação dos Eventos e Dados
Vamos definir os eventos probabilísticos baseados nas informações fornecidas no enunciado:
- Evento $P$: O indivíduo tem pneumonia.
- Evento $D$: O indivíduo tem dores no peito.
Os dados fornecidos são:
- Probabilidade de ter pneumonia (priori): P(P) = 10\% = 0,10
- Probabilidade de ter dores no peito na população geral: P(D) = 50\% = 0,50
- Probabilidade de ter dores no peito sabendo-se que tem pneumonia (verossimilhança): P(D|P) = 45\% = 0,45
2. Aplicação do Teorema de Bayes
O objetivo é calcular a probabilidade de o Manuel ter pneumonia, sabendo-se que ele já tem dores no peito. Isso corresponde a encontrar P(P|D).
A fórmula de Bayes é:
P(P|D) = \frac{P(D|P) \cdot P(P)}{P(D)}
Substituindo os valores conhecidos:
P(P|D) = \frac{0,45 \times 0,10}{0,50}
3. Cálculo Final
Realizando as operações matemáticas:
- Numerador (intersecção): 0,45 \times 0,10 = 0,045
- Divisão pelo denominador: 0,045 \div 0,50 = 0,09
Convertendo para porcentagem:
0,09 \times 100 = 9\%
Portanto, apesar de 45% dos pneumônicos terem dor no peito, como a dor no peito é comum na população geral (50%) e a pneumonia é relativamente rara (10%), a chance de quem tem dor no peito realmente ter pneumonia cai para 9%.