Let A = {x | x ∈ N, 1 ≤ x ≤ 100}. What is the number of elements of the subset B = {x | x ∈ A, x is not divisible by 3, x is not divisible by 5 and x is not divisible by 7}?

Alternativa E

O problema solicita o número de elementos no conjunto B, que são inteiros entre 1 e 100 que não são divisíveis por 3, nem por 5, nem por 7. Para resolver isso, utilizaremos o Princípio da Inclusão-Exclusão.

Análise do Problema

Primeiro, definimos o universo dos números possíveis e os conjuntos de múltiplos que queremos excluir:

• O conjunto total é A = \{1, 2, ..., 100\}, logo temos 100 elementos.
• Queremos remover todos os números que têm pelo menos um dos fatores 3, 5 ou 7.

Vamos calcular quantos números são divisíveis por cada um desses valores e suas combinações dentro do intervalo de 1 a 100.

Passo 1: Contagem direta dos múltiplos

Usamos a função parte inteira \lfloor \frac{n}{k} \rfloor para contar quantos múltiplos de k existem até n.

• Múltiplos de 3: \lfloor \frac{100}{3} \rfloor = 33
• Múltiplos de 5: \lfloor \frac{100}{5} \rfloor = 20
• Múltiplos de 7: \lfloor \frac{100}{7} \rfloor = 14

Somando esses valores, teríamos $33 + 20 + 14 = 67$. No entanto, isso conta alguns números duas ou três vezes (ex: 15 é múltiplo de 3 e 5), então precisamos corrigir as interseções.

Passo 2: Correção das interseções (Mínimo Múltiplo Comum)

Precisamos subtrair os casos onde os divisores se sobrepõem.

• Divisível por 3 e 5 (múltiplo de 15): \lfloor \frac{100}{15} \rfloor = 6
• Divisível por 3 e 7 (múltiplo de 21): \lfloor \frac{100}{21} \rfloor = 4
• Divisível por 5 e 7 (múltiplo de 35): \lfloor \frac{100}{35} \rfloor = 2

Subtraímos essas interseções da soma anterior:
67 - (6 + 4 + 2) = 67 - 12 = 55

Passo 3: Interseção Triplo

Precisamos verificar se há números divisíveis simultaneamente por 3, 5 e 7 (múltiplo de 105).

• Divisível por 105: \lfloor \frac{100}{105} \rfloor = 0

Como não há números abaixo de 100 divisíveis por 105, não precisamos adicionar nada de volta à fórmula.

Passo 4: Cálculo Final

O número de elementos que são divisíveis por 3, 5 ou 7 é 55.
Para encontrar os elementos que não são divisíveis por nenhum deles, subtraímos esse resultado do total de elementos (100).

Portanto, existem 45 números no conjunto B.

Alternativa E