Alternativa C
Para resolver este problema, precisamos identificar que se trata de um caso de Combinatória, especificamente de Combinação Simples.
Conceitos Fundamentais
- Ordem não importa: No jogo da Mega Sena, o resultado é definido pelo conjunto de números sorteados. A sequência em que os números aparecem (ex: 1, 2, 3, 4, 5, 6 ou 6, 5, 4, 3, 2, 1) não altera a aposta. Quando a ordem não importa, utilizamos a fórmula de Combinação.
- Arranjo vs. Combinação: Se a ordem importasse, usaríamos Arranjo (A). Como não importa, usamos Combinação (C).
Dados do Problema
O enunciado propõe uma variação das regras originais da Mega Sena:
- Total de elementos (n): A questão limita a escolha aos números de 1 a 20. Logo, temos 20 números disponíveis.
- Tamanho do grupo (p): Uma aposta sempre consiste na escolha de 6 números.
Cálculo
A fórmula geral para a Combinação Simples é dada por:
C_{n,p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}
Substituindo nossos valores (n=20 e p=6):
C_{20,6} = \frac{20!}{6!(20-6)!} = \frac{20!}{6! \cdot 14!}
Na notação utilizada nas alternativas da imagem, essa representação aparece como C_6^{20} (onde o número maior representa o total de elementos e o menor representa o grupo escolhido).
Análise das Alternativas
| Alternativa | Notação Interpretada | Significado Matemático | Status |
|---|
| A | C_6^{60} | Combinação de 60 elementos tomados 6 a 6. | Incorreta (refere-se à regra original, não à proposta). |
| B | A_6^{60} | Arranjo de 60 elementos tomados 6 a 6. | Incorreta (ordem não importa e número errado). |
| C | C_6^{20} | Combinação de 20 elementos tomados 6 a 6. | Correta |
| D | A_6^{20} | Arranjo de 20 elementos tomados 6 a 6. | Incorreta (ordem não importa). |
| E | P_{20} | Permutação de 20 elementos. | Incorreta (usaríamos permutação se todos os 20 fossem escolhidos). |
Conclusão
Como devemos escolher 6 números distintos de um total de 20 disponíveis e a ordem não influencia o resultado, a quantidade de apostas possíveis é representada pela combinação de 20 elementos tomados 6 a 6.
Portanto, a alternativa correta é a C.