No contexto de sistemas discretos e filtros digitais, a Transformada Z e sua região de convergência (ROC) determinam propriedades de estabilidade e causalidade. Considere o sinal discreto: x[n] = aⁿ u[n], |a| < 1 Com base nessa definição, no que corresponde à ROC da Transformada Z, assinale a alternativa correta:

Alternativa B - |z| > |a|

Para determinar a Região de Convergência (ROC) da Transformada Z, é necessário analisar a definição matemática do sinal e as condições de convergência da série resultante.

Fundamentos Teóricos

A Transformada Z bilateral de um sinal discreto x[n] é definida pela soma:
X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}

O problema fornece o sinal x[n] = a^n u[n] com a condição |a| < 1.

• O termo u[n] indica que o sinal é unilateral ou causal (zero para n < 0).
• Isso altera os limites da soma para começar em n = 0.

Desenvolvimento Matemático

Substituindo o sinal na definição da Transformada Z:

1. Aplicar a função degrau: Como u[n] = 0 para n < 0, a soma começa em zero.
   X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n z^{-n}
2. Reorganizar os termos: Agrupamos a base comum dentro do somatório.
   X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{a}{z} \right)^n
3. Identificar a série geométrica: Esta é uma série geométrica infinita da forma \sum_{n=0}^{\infty} r^n, onde a razão é r = \frac{a}{z}.
4. Condição de convergência: Uma série geométrica converge se, e somente se, o módulo da razão for menor que 1 (|r| < 1).
   \left| \frac{a}{z} \right| < 1
5. Isolar z: Multiplicando ambos os lados por |z|, obtemos:
   |a| < |z| \quad \Rightarrow \quad |z| > |a|

Análise das Alternativas

• **|z| < |a|$**: Corresponderia a um sinal anti-causal (esquerda), como $-a^n u[-n-1]. Incorreta.
• |z| > |a|$**: Corresponde ao cálculo correto para um sinal causal ($u[n]). Correta.**
• $|z| = |a|$: Representa a fronteira onde ocorre o polo, mas a Transformada Z não converge exatamente no polo. Incorreta.
• **|z| < 1$**: Embora o sistema seja estável (pois $|a| < 1 implica que o polo está dentro do círculo unitário), a ROC é definida pelo polo a, não necessariamente pelo valor 1. Incorreta.
• Todo o plano z: Só ocorreria se não houvesse polos, o que não é o caso aqui (existe um polo em z=a). Incorreta.

Conclusão

Para sinais causais da forma a^n u[n], a Região de Convergência é sempre a região externa ao círculo definido pelo polo z=a. Portanto, a alternativa correta é B.