Esta é uma questão de Estatística Descritiva, que exige o preenchimento de uma tabela de distribuição de frequências e o cálculo de medidas de posição e dispersão.
Resumo da Resposta:
A tabela completa deve ser preenchida calculando-se as frequências acumuladas e relativas. As medidas estatísticas resultantes são: Média = 2.3, Desvio Padrão ≈ 1.26, Moda = 1 e Mediana = 2.
Análise Detalhada
a) Preenchimento da Tabela de Frequências
Para completar a tabela, precisamos entender como cada coluna é construída a partir dos dados fornecidos (X_i e f_i). O total de observações (N) é dado na última linha como 60.
- Frequência Absoluta Acumulada (F_{acum}): É a soma da frequência atual com todas as anteriores.
- Linha 1: $20$
- Linha 2: $20 + 18 = 38$
- Linha 3: $38 + 11 = 49$
- Linha 4: $49 + 6 = 55$
- Linha 5: $55 + 5 = 60$
- Frequência Relativa (fr): É a razão entre a frequência absoluta e o total (N=60). Geralmente expressa em decimal ou porcentagem.
- Exemplo Linha 1: $20 / 60 = 0,3333$
- Exemplo Linha 2: $18 / 60 = 0,3000$
- Frequência Relativa Acumulada (Fr_{acum}): Soma das frequências relativas até aquele ponto.
- Exemplo Linha 2: $0,3333 + 0,3000 = 0,6333$
Tabela Completa:
| X_i | f_i | F_{acum} | fr | Fr_{acum} |
|---|
| 1 | 20 | 20 | 0,3333 | 0,3333 |
| 2 | 18 | 38 | 0,3000 | 0,6333 |
| 3 | 11 | 49 | 0,1833 | 0,8166 |
| 4 | 6 | 55 | 0,1000 | 0,9166 |
| 5 | 5 | 60 | 0,0833 | 1,0000 |
| Total | 60 | - | 1,0000 | - |
b) Cálculo da Média e Desvio Padrão
Para encontrar a média aritmética ponderada (\bar{x}), multiplicamos cada valor pelo seu número de ocorrências e dividimos pelo total.
\bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot f_i)}{N}
Calculando os produtos:
- $1 \cdot 20 = 20$
- $2 \cdot 18 = 36$
- $3 \cdot 11 = 33$
- $4 \cdot 6 = 24$
- $5 \cdot 5 = 25$
- Soma Total: $138$
\bar{x} = \frac{138}{60} = 2,3
O desvio padrão (s) mede a dispersão dos dados em relação à média. A fórmula para variância populacional é:
s^2 = \frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{N}
Calculando as variações ao quadrado ponderadas:
- $20 \cdot (1 - 2,3)^2 = 20 \cdot (-1,3)^2 = 20 \cdot 1,69 = 33,8$
- $18 \cdot (2 - 2,3)^2 = 18 \cdot (-0,3)^2 = 18 \cdot 0,09 = 1,62$
- $11 \cdot (3 - 2,3)^2 = 11 \cdot (0,7)^2 = 11 \cdot 0,49 = 5,39$
- $6 \cdot (4 - 2,3)^2 = 6 \cdot (1,7)^2 = 6 \cdot 2,89 = 17,34$
- $5 \cdot (5 - 2,3)^2 = 5 \cdot (2,7)^2 = 5 \cdot 7,29 = 36,45$
Somatório das diferenças ao quadrado: $33,8 + 1,62 + 5,39 + 17,34 + 36,45 = 94,6$
Variância:
s^2 = \frac{94,6}{60} \approx 1,5767
Desvio Padrão:
s = \sqrt{1,5767} \approx 1,26
c) Determinação da Moda e Mediana
- Moda (Mo): É o valor que ocorre com maior frequência. Observando a coluna f_i, o maior valor é 20, que corresponde a X_i = 1.
- Logo, $Mo = 1$.
- Mediana (Me): É o valor que divide a distribuição em duas partes iguais. Como temos N=60 (número par), procuramos a posição média entre o 30º e o 31º elemento.
- Olhando para a coluna de Frequência Absoluta Acumulada:
- Até X_i=1, temos 20 elementos.
- Até X_i=2, temos 38 elementos.
- Os elementos do 21º ao 38º têm valor 2. Portanto, tanto o 30º quanto o 31º elemento são iguais a 2.
- Logo, $Me = 2$.
Conclusão
Os resultados finais para esta análise estatística são:
- Média: 2,3 incidentes por ano (em média).
- Desvio Padrão: 1,26 (indica uma dispersão moderada em torno da média).
- Moda: 1 incidente (o caso mais comum).
- Mediana: 2 incidentes (o ponto central da distribuição).