Se uma variável aleatória Z tem distribuição normal padrão (média 0 e desvio padrão 1), qual é a probabilidade de Z ser menor que 1,96?

Alternativa C - 0,9750

Introdução

Esta questão envolve a distribuição normal padrão, uma das mais importantes distribuições da estatística. A variável $Z$ segue uma distribuição com média $\mu = 0$ e desvio padrão $\sigma = 1$.

Desenvolvimento

Para encontrar a probabilidade de $Z$ ser menor que 1,96, precisamos consultar a tabela da distribuição normal padrão:

Conceitos Fundamentais

• Distribuição Normal Padrão: curva simétrica em forma de sino centrada em 0
• Tabela Z: fornece áreas acumuladas sob a curva para diferentes valores de Z
• Propriedade de simetria: a área total é 1, e metade está à esquerda de 0

Cálculo Passo a Passo

A fórmula básica é:

$$P(Z < 1,96) = P(Z < 0) + P(0 < Z < 1,96)$$

$$P(Z < 1,96) = 0,5000 + 0,4750 = 0,9750$$

Análise

• Alternativa A (0,4750): representa apenas a área entre 0 e 1,96, não incluindo a metade inferior da distribuição
• Alternativa B (0,9500): corresponde ao intervalo entre -1,96 e +1,96 (intervalo de confiança de 95%)
• Alternativa C (0,9750): CORRETO - representa toda a área acumulada até 1,96
• Alternativa D (0,9900): valor muito alto, corresponderia a um Z maior que 2,33

Aplicação Prática

Este valor é fundamental em testes de hipóteses e intervalos de confiança:

• Para 95% de confiança: usamos Z = ±1,96
• Isso significa que 97,5% dos dados estão abaixo de +1,96
• E 97,5% estão acima de -1,96

Conclusão

A probabilidade de uma variável normal padrão ser menor que 1,96 é 0,9750.

Alternativa C.