Alternativa D
A questão aborda o cálculo do coeficiente angular (inclinação) em uma regressão linear simples utilizando o método de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO).
O estimador \hat{\beta}_1 é definido pela razão entre a covariância amostral entre as variáveis e a variância amostral da variável independente (explicativa).
A fórmula matemática padrão é:
\hat{\beta}_1 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}
Análise das Opções
- Numerador: Representa a soma dos produtos cruzados dos desvios. É essencialmente a covariância multiplicada por (n-1). Deve conter os termos (x_i - \bar{x}) e (y_i - \bar{y}).
- Denominador: Representa a soma dos quadrados dos desvios da variável explicativa X. Deve conter o termo (x_i - \bar{x}) elevado ao quadrado.
- Alternativa D: Apresenta corretamente a soma dos produtos no numerador e a soma dos quadrados no denominador.
- Outras alternativas: As demais opções apresentam erros como ausência da variável y, uso de resíduos (u_i) que são desconhecidos antes do ajuste, ou fórmulas simplificadas incorretas.
Portanto, a expressão na Alternativa D corresponde à definição correta do estimador de MQO para a inclinação.