Suponha que temos duas variáveis aleatórias X e Y, onde Y=g(X) é uma função de X. Uma empresa de meteorologia modelou a quantidade de chuva em um dia como X e a quantidade de água coletada em um reservatório como Y. Eles têm um modelo estatístico completo para X e estão tentando calcular a probabilidade de um evento associado a Y. Se B é o evento de que a quantidade de água coletada Y está entre 50 e 100 litros, qual dos seguintes seria a abordagem correta para encontrar a probabilidade de B?

Question

Suponha que temos duas variáveis aleatórias X e Y, onde Y=g(X) é uma função de X. Uma empresa de meteorologia modelou a quantidade de chuva em um dia como X e a quantidade de água coletada em um reservatório como Y. Eles têm um modelo estatístico completo para X e estão tentando calcular a probabilidade de um evento associado a Y. Se B é o evento de que a quantidade de água coletada Y está entre 50 e 100 litros, qual dos seguintes seria a abordagem correta para encontrar a probabilidade de B? A) Calcular a probabilidade diretamente usando o modelo de Y. B) Encontrar os valores de x para os quais g(x) está entre 50 e 100 e, em seguida, usar o modelo de X para calcular a probabilidade. C) Ignorar o evento equivalente e estimar a probabilidade com base em dados passados. D) Multiplicar a probabilidade de X pela probabilidade de Y. E) Usar apenas a média de X para estimar a probabilidade de B.

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Alternativa B A questão aborda o conceito de variáveis aleatórias transformadas . Quando uma variável $Y$ é definida como uma função de outra variável $X$ ($Y = g(X)$), qualquer probabilidade envolvendo $Y$ pode ser calculada utilizando o conhecimento da distribuição de $X$. Análise da Solução Para resolver o problema, devemos seguir a lógica de transformação de domínio: 1. Identificar a Relação: Temos $Y = g(X)$. O evento $B$ ocorre quando $50 \le Y \le 100$. 2. Traduzir o Evento: Substituímos $Y$ pela sua definição em termos de $X$. O evento torna se $50 \le g(X) \le 100$. 3. Determinar o Domínio de X: Precisamos encontrar quais valores de $x$ satisfazem essa desigualdade. Isso define um intervalo (ou conjunto de intervalos) no espaço amostral de $X$. 4. Aplicar o Modelo Conhecido: Como o enunciado afirma que existe um modelo estatístico completo para $X$, calculamos a probabilidade de $X$ estar dentro desse intervalo encontrado. Isso corresponde exatamente à descrição da Alternativa B : encontrar os valores de $x$ para os quais $g(x)$ está na faixa desejada e usar o modelo de $X$. Por que as outras alternativas estão incorretas? | Alternativa | Motivo da Incorreção | | : | : | | A | Não temos um modelo direto para $Y$ inicialmente; teríamos que construí lo a partir de $X$. | | C | Ignorar o modelo matemático e usar apenas dados passados reduz a precisão teórica disponível. | | D | Multiplicar probabilidades de variáveis dependentes ($Y$ depende de $X$) não gera a probabilidade do evento corretamente. | | E | Usar apenas a média ignora a variância e a forma da distribuição, sendo insuficiente para calcular probabilidades de intervalos. | Conclusão A abordagem correta utiliza a informação disponível (o modelo de $X$) mapeando a condição sobre $Y$ de volta para a condição sobre $X$. Portanto, a Alternativa B é a resposta correta.

Explicação passo a passo

Análise da Solução

Por que as outras alternativas estão incorretas?

Conclusão

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Tem outra questão de Matemática — Estatística?

Alternativa	Motivo da Incorreção
A	Não temos um modelo direto para $Y$ inicialmente; teríamos que construí-lo a partir de $X$ .
C	Ignorar o modelo matemático e usar apenas dados passados reduz a precisão teórica disponível.
D	Multiplicar probabilidades de variáveis dependentes ( $Y$ depende de $X$ ) não gera a probabilidade do evento corretamente.
E	Usar apenas a média ignora a variância e a forma da distribuição, sendo insuficiente para calcular probabilidades de intervalos.