Resolução da Questão
Dados Fornecidos
| Variável | Valor |
|---|
| Média amostral (\bar{x}) | 1.200 horas |
| Desvio padrão (s) | 50 horas |
| Tamanho da amostra (n) | 25 |
| Grau de confiança | 90% |
Desenvolvimento do Cálculo
Passo 1: Identificar a distribuição adequada
Como utilizamos o desvio padrão da amostra (e não da população), aplicamos a distribuição t de Student.
- Graus de liberdade: df = n - 1 = 25 - 1 = 24
Passo 2: Encontrar o valor crítico t
Para 90% de confiança com 24 graus de liberdade:
- \alpha = 1 - 0,90 = 0,10
- \alpha/2 = 0,05 (cauda bilateral)
- t_{0,05, 24} \approx 1,711
Passo 3: Calcular o Erro Padrão
EP = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{50}{\sqrt{25}} = \frac{50}{5} = 10
Passo 4: Calcular a Margem de Erro
ME = t_{\alpha/2, df} \times EP = 1,711 \times 10 = 17,11
Passo 5: Construir o Intervalo de Confiança
IC = \bar{x} \pm ME
IC = 1.200 \pm 17,11
IC = [1.182,89; 1.217,11]
Análise
- Fórmula fundamental: CI = \bar{x} \pm t_{\alpha/2, df} \times \frac{s}{\sqrt{n}}
- Quando n < 30, usamos t de Student (não Z de Pearson)
- O erro padrão diminui com o aumento do tamanho da amostra
- Maior nível de confiança → maior margem de erro → intervalo mais amplo
Conclusão
Resposta: O intervalo de confiança de 90% para a vida média das lâmpadas é [1.182,89 horas a 1.217,11 horas].
Isso significa que estamos 90% confiantes de que a verdadeira média populacional do tempo de vida das lâmpadas está compreendida entre esses dois valores.