Uma empresa de loteria introduziu um novo jogo de dados. Nele, os jogadores apostam em um dado de seis faces e, dependendo do número que cai, recebem uma quantia em dinheiro. Se o dado cai no número 1, o jogador ganha R2; se cai no número 2, ganha R 4; se cai no número 3, não ganha nada; se cai no número 4, ganha R 4; se cai no número 5, não ganha nada; se cai no número 6, ganha R$ 3. Qual é o valor esperado dos ganhos de um jogador em uma única jogada?

Question

Uma empresa de loteria introduziu um novo jogo de dados. Nele, os jogadores apostam em um dado de seis faces e, dependendo do número que cai, recebem uma quantia em dinheiro. Se o dado cai no número 1, o jogador ganha R2; se cai no número 2, ganha R 4; se cai no número 3, não ganha nada; se cai no número 4, ganha R 4; se cai no número 5, não ganha nada; se cai no número 6, ganha R$ 3. Qual é o valor esperado dos ganhos de um jogador em uma única jogada? A) R$ 1,33. B) R$ 1,67. C) R$ 2,00. D) R$ 2,33. E) R$ 2,50.

Sapien IA · Accepted Answer

Alternativa A O problema solicita o cálculo do valor esperado (ou esperança matemática) dos ganhos em uma jogada. O valor esperado é a média ponderada de todos os resultados possíveis, onde cada resultado é multiplicado pela sua probabilidade de ocorrência. Para um dado justo de seis faces, a probabilidade de cair qualquer número específico é constante: $$P(x) = \frac{1}{6}$$ Análise Detalhada Para encontrar o valor esperado, somamos os produtos de cada ganho/perda pela respectiva probabilidade: Face 1 : Ganha R$ 2,00 $\rightarrow$ Valor: $+2$ Face 2 : Ganha R$ 4,00 $\rightarrow$ Valor: $+4$ Face 3 : Não ganha nada $\rightarrow$ Valor: $0$ Face 4 : Ganha R$ 1,00 $\rightarrow$ Valor: $+1$ Face 5 : Perde R$ 2,00 $\rightarrow$ Valor: $ 2$ (atenção ao sinal negativo) Face 6 : Ganha R$ 3,00 $\rightarrow$ Valor: $+3$ Aplicando a fórmula do valor esperado $E(X)$: $$E(X) = \sum (x \cdot P(x))$$ $$E(X) = \left(2 \cdot \frac{1}{6}\right) + \left(4 \cdot \frac{1}{6}\right) + \left(0 \cdot \frac{1}{6}\right) + \left(1 \cdot \frac{1}{6}\right) + \left( 2 \cdot \frac{1}{6}\right) + \left(3 \cdot \frac{1}{6}\right)$$ Como a probabilidade é a mesma para todos, podemos fatorar $\frac{1}{6}$: $$E(X) = \frac{1}{6} \cdot (2 + 4 + 0 + 1 2 + 3)$$ $$E(X) = \frac{1}{6} \cdot (8)$$ $$E(X) = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$$ Convertendo para decimal: $$E(X) \approx 1,33$$ Portanto, o valor esperado dos ganhos é de aproximadamente R$ 1,33 . Conclusão A alternativa correta é a A , pois o cálculo resulta em R$ 1,33.

Explicação passo a passo

Análise Detalhada

Mais questões de Matemática — Estatística

Tem outra questão de Matemática — Estatística?